Proyecto de conejo

METODO DE LA REGLA FALSA 1. CONCEPTO. En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante. Este método sirve para encontrar la raíz o solución real de una ecuación. Al decir que encuentra su resultado hay que tomar en cuenta que notodas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes de aplicar el método para que sea efectivo. 2. PROCEDIMIENTO. Como mencionamos anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Consideremos nuevamente unagráfica como la anterior:

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo . Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método debisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos. Supongamos que tenemos una función y además, y que es continua en el intervalo , . tienen signos opuestos.

Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:

Por lo tanto la ecuación de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje

,hacemos

:

Multiplicando por

nos da: :

Finalmente, de aquí despejamos

Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del método de bisección. Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos: Sea continua, , tales que y tienen signos i) Encontrar valores iniciales opuestos, es decir,

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:

iii) Evaluar. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso, tenemos que raíz se encuentra en el intervalo

y .

tienen signos opuestos, y por lo tanto la

En este caso, tenemos que y intervalo .

y

tienen el mismo signo, y de aquí que

tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos laraíz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

3. EJEMPLOS. A) Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de comenzando en el intervalo Solución. Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que es continua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método dela regla falsa. Calculamos la primera aproximación: y hasta que . ,

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso. pues, Así evaluamos Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:

.

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso. Evaluamos signos: , y hacemos la tabla de

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo podemos calcular la nueva aproximación:

, con el cual,

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada es: Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a laraíz, a diferencia de la lentitud del método de la bisección. B) Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de comenzando en el intervalo Solucion. Este es el mismo ejemplo 2 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que se cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir, que sea contínua en el intervalo dado y que tome signos opuestos en los extremos de...