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Introducción Probabilidad

Eliel D. Jiménez

Otoño del 2010

Eliel D. Jiménez ()

Introducción Probabilidad

Otoño del 2010

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σ -Algebra

Denición
Sea F una familia de todos los subconjuntos de Ω

Denición
Una σ-algebra G ⊂ F es una familia de subconjuntos de Ω tal que
1 2 3

∅∈G

Si A ∈ G entonces Ac ∈ G Si (Ai )i∈N ⊂ G es una secuancia en G, entonces ∪i∈N Ai ∈G

Denición
La pareja (Ω,G) se llama un espacio medible

Eliel D. Jiménez ()

Introducción Probabilidad

Otoño del 2010

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σ -algebra:

Ejemplo

Ejemplo
Sea Ω el espacio muestral generado por el movimiento de una acción en un esquema binomial de dos periodos, esto es Ω = {U U, U D, DU, DD} por lo tanto σ-algebra una sigma algebra es
G = {∅, Ω, {U U }, {U D, DU, DD}, {UU, U D}, {DU, DD}, {U U, DU, DD}}

Pero fíjese que tambien
G ={∅, Ω, {DD}, {U U, U D, DU }, {U D}, {U U, DU, DD}, {U U }, {U D, DU, DD}, {DU }, {U U, U D, DD}, {U U, U D}, {DU, DD}, {U U, DD}, {DU, U D}}

De hecho esta última σ-algebra es la más grande que se puede formar con Ω ya que incluye todos los posibles subconjuntos de Ω

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Introducción Probabilidad

Otoño del2010

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Espacio de probabilidad

Denición
Sea P() la probabilidad de ocurrencia de un evento del espacio muestral Ω y sean A, B ∈ Ω entonces P() cumple las siguientes propiedades
1 2 3 4

0 ≤ P (A) ≤ 1 P (Ac ) = 1 − P (A) P (∅) = 0, P (Ω) = 1 P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

La información probabilistica esencial que caracteriza cualquier experimento puede ser estrictamente resumidaen la tripleta (Ω, G, P ) la que consiste en el espacio muestral Ω, la colección de eventos G y la medida de probabilidad P , estas tienen que satisfacer cierta relación.

Denición
La tripleta (Ω, G, P ) se llama espacio de probabilidad y forman una conjunto de reglas consistente que permiten modelar probabilidades en este espacio

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Espacio de probabilidad

La probabilidad de que un evento A ocurra P (A) puede ser interpretado como la medida posibilidad que A ocurra. Si tenemos información adicional, tal como que otro evento ocurrio, entonces nuestra estimación de probabilidad podria cambiar. Por ejemplo si A = {ω1 , ω2 } entonces condicionado que A ocurrio la probabilidad de que ω1 ocurra es mayor. Aesto lo llamamos probabilidad condicional.

Denición
Sean A y B dos eventos, entonces la probabilidad condicional de A dado B, muestra la probabilidad de A ocurra una vez que sabemos que B ocurrio y se denota P (A|B) y
P (A|B) = P (A ∩ B) P (B)

(1)

dado que P(B) > 0
(1) tambien es llamada la formula de Bayes y como consecuencia se tiene P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B) el cual se llama elteorema de Bayes

Denición
Sean A y B dos eventos, entonces A y B seran independientes si y solo si
P (A ∩ B) = P (A)P (B)

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Variables Aleatorias y Distribuciones

Denición
Sea (Ω, G, P ) un espacio de probabilidad, la función X : Ω → R se llama una variable aleatoria relativa a los eventos medibles G, talque para todo x ∈ R, {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ G
Para cualquier Ω y variable aleatoria X, no todos los subconjuntos de Ω pertenecen al dominio de P (). Para esto deben pertenecer a G Por lo tanto no a todos los subconjunto de la linea real le podemos asignar probabilidades, solo lo podemos hacer para las σ -algebra con un nombre especial σ -algebra Borel, denotada B, cuyos elementos se llaman conjuntosde borel y esta formado por todos los intervalos (a, b], a, b ∈ R. Dado que la variable aleatoria X mapea Ω a la linea de números reales, entonces se dice que X induce el espacio de probabilidad {R, B, P }.

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Variables Aleatorias y Distribuciones

Denición
Sea X un variable aleatoria, su función de distribución...
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