radicalizacion

La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una fracción.

Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine laraíz del denominador.
Racionalización de un radical índice 2

Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente. En el siguiente caso:

\frac{{8}}{\sqrt{5}}

hay que multiplicar numerador y denominador por \sqrt{5}\frac{{8}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \frac{{8\sqrt{5}}}{\sqrt{5^2}}

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

\frac{{8\sqrt{5}}}{\sqrt{5^2}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} = \frac{8}{5}\sqrt{5}

También se debe tener en cuenta todas las propiedades para poder resolver losproblemas de forma más fácil.

Se debe tener cuidado al realizar las operaciones entre los radicales, pues si se tiene

\frac{{8}}{\sqrt{x}}

Al racionalizar que se debería dividir por

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

es lo mismo

\frac{{8}\sqrt{x}}{\sqrt{x^2}} que es correcto

que

\frac{{8}\sqrt{x}}{\sqrt{x}^2} que no correcto

Porque estaríamos ganando soluciones, es decirnotemos que {\sqrt{x^2}} (que seria el valor absoluto de un número) no es lo mismo que {\sqrt{x}^2} ( que es el cuadrado de una raíz) entonces cuando {x} sea un número negativo, la racionalización definiría una nueva solución, que no es correcto
Racionalización de binomio de índice 2

Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicarel numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

hay que multiplicar el numerador y el denominador por {\sqrt{2}-\sqrt{3}}; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} · \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} =\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}

\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}}
\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2(\sqrt{2}-\sqrt{3}})

El caso general de un binomio con dos raíces cuadradas también es fácilmente resoluble:


\frac{1}{a\sqrt{p}+b\sqrt{q}}= \frac{1}{a\sqrt{p}+b\sqrt{q}}\cdot\frac{b\sqrt{q}-a\sqrt{p}}{b\sqrt{q}-a\sqrt{p}} = \frac{b\sqrt{q}-a\sqrt{p}}{b^2 q-a^2 p}

Más complicada es la racionalización de un trinomio:


\frac{1}{a\sqrt{p}+b\sqrt{q}+c} = \frac{(b\sqrt{q}+c-a\sqrt{p})(-b^2q-c^2+a^2p+2bc\sqrt{q})}{b^4q^2 - 2b^2c^2q - 2b^2qa^2p + c^4 - 2c^2a^2p + a^4p^2}

Racionalización de monomios con índices mayores que 2

Tómese el siguiente caso, ya que tenemosnumeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por índices mayores que 3.

\frac{{2}}{\sqrt[5]{8a^3b^4}}

Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.

\frac{{2}}{\sqrt[5]{8a^3b^4}} = \frac{{2}}{\sqrt[5]{2^3a^3b^4}}

Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador ydenominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.

Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para...