Realciones matematicas

Relaciones
1. Relación:

Dados los conjuntos A y B diferentes del vacío.
La relación R de A en B (R: A → B), es un conjunto de pares ordenados (x, y), subconjunto del producto cartesiano A xB, en la que los componentes de sus pares ordenados guardan una correspondencia dada.

R es una relación de A en B↔R A x B |

Donde:
A: Es el conjunto de partida
B: Es el conjunto dellagada

Ejemplo

* R: A→B
Dados los conjuntos:
A: 1;3;5
B: 2;4
Determinar la relación R definida por a > b

Solución
Establezcamos el producto cartesiano:A x B = 1,2,1;4, 3;2,3;4,5;2,5;4 Si (a; b) Si representa a cualquiera de estos pares ordenados, entonces extraemos a aquellos que cumplan con la condición a>b.
R= 3;2, 5;2, 5;4

2. Tiposde Relaciones:

Considerando una relación R en A, es decir; R: A → A donde A es un conjunto no vacio, se definen los siguientes tipos de relaciones.

3.1. Relación reflexiva:

Larelación R se denomina Reflexiva, si esta todo elemento de A esta relacionado consigo mismo; así:

R es reflexiva ↔ { ∀ a ϵ A; (a; a) ϵ R} |

Ejemplo

* Dado el conjunto: A= 1;2;3;4.En el cual se defina la relación:
R= 1;1,1;2,2;2,2;3,3;3,3;4,4;4,4;1.
¿Es reflexiva?
Solución:

Se observa que:
Para 1 ϵ A: (1; 1) ϵ R
Para 2 ϵ A: (2; 2) ϵ R
Para 3 ϵ A: (3; 3) ϵ RPara 4 ϵ A: (4; 4) ϵ R
Por lo tanto R es reflexiva.

3.2. Relación simétrica:

La relación R se llama simétrica cuando para todos los pares (a; b) R; el par (b; a) también es unelemento de R; es decir:

R es simétrica ↔ { ∀ (a; b) ϵ R: (b; a) ϵ R} |

Ejemplo

* ¿ La relación: R = {(x; y) ϵ R2/ x2+y2 = 1}

Solución:

Si es simétrica, pues paracualquier (a; b) ϵ R que satisface la regla de correspondencia: a2+b2=1; el par (b; a) también satisfacerá dicha regla: b2+a2=1 ; es decir ; (b; a) ϵ R.

3.3. Relación transitiva:

La...