Resonancia con ecuaciones diferenciales de segundo orden

| Matemática III |
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Tema | ED de segundo orden: Resonancia |
| Profesor: Daniel Arteaga BlasAlumno: Marvin Zavaleta ValderramaCod. Clase: 4626 |
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INTRODUCCIÓN
En el transcurso de la investigación acerca del fenómeno de la resonancia, es lamentable comprobarcómo es que los libros de textos usuales con los que contamos en biblioteca tienen un conocimiento muy deficiente acerca de lo que es el fenómeno de la resonancia así como del amplio campo de sus aplicaciones. Por ejemplo una posible explicación a este tema es que en la sección de mecánica los textos se limitan a ilustrar el fenómeno con ejemplos de la resonancia en un resorte, en una cuerda tensa oen tubos, casos que en sí no llaman mucho la atención a los alumnos ya que estos no tienen mucha relevancia en su vida cotidiana. Sin embargo este fenómeno tiene una gran cantidad de aplicaciones en el mundo de la tecnología y además en multitud de situaciones de la vida real.
Consecuentemente, en este documento se presenta una deducción matemática del fenómeno para casos sencillos, como es elsistema resorte-masa, para luego ir más allá ilustrándolo con una serie de casos en los cuales el fenómeno está presente en la vida real.

RESONANCIA
La resonancia es una característica muy significativa del movimiento oscilatorio y tiene lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para cada sistema dado, produciéndose cambios en la configuración delos sistemas que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura, lo que denominamos: efectos de resonantes, Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas ya que depende de las características del material sometido a la vibración.
El movimiento de una masa sujeta a un resorte sirve como un ejemplorelativamente sencillo de las vibraciones que ocurren en sistemas mecánicos de mayor complejidad.
Consideramos un cuerpo de masa m sujeto al extremo de un resorte común que resiste compresión y estiramiento; el otro extremo del resorte está sujeto a una superficie fija.

Supóngase que el cuerpo reposa en un plano horizontal sin fricción, de modo que sólo puede moverse hacia delante y hacia atrásconforme el resorte se comprima o alargue. Denote con x la distancia del cuerpo a su posición de equilibrio, su posición cuando el resorte no está estirado. Tomamos x > 0 cuando el resorte está estirado y por tanto x < 0 cuando está comprimido.

De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza de restauración FS que el resorte ejerce sobre la masa es proporcional a la distancia x que el resorte ha sidoalargado o comprimido. Como este es el mismo que el desplazamiento x de la masa m de su posición de equilibrio, se sigue que
FS= -kx
La constante positiva de proporcionalidad k se denomina constante del resorte. Observe que FS y x tiene signos contrarios: FS < 0 cuando x > 0, F- > 0 cuando

Anteriormente mostramos una masa sujeta a un amortiguador (un dispositivo, para absorber el impacto),que proporciona una fuerza dirigida en sentido opuesto a la dirección instantánea de movimiento de la masa m. Suponemos que el amortiguador está diseñado de modo que su fuerza FR es proporcional a la velocidad u = dx/dt de la masa; esto es,
FR= -cv= -cdxdt
La constante positiva c es la constante de amortiguamiento del amortiguador. Con mayor generalidad, podemos considerar la ecuación (2) comofuerzas de fricción específicas en nuestro sistema (incluyendo la resistencia del aire al movimiento de m).

Si, además de las fuerzas FS y FR, la masa está sujeta a una fuerza externa FE = F(t), entonces la fuerza total que actúa sobre la masa es F = FS + FR + FE . Usando la ley de Newton

F= ma=md2xd t2 =mx''
obtenemos la ecuación diferencial lineal de segundo orden
mx''+ cx'+ kx =F(t)...