Respuesta de los sistemas de orden superior a diferentes tipos de funciones de forzamiento

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4-4 RESPUESTA DE LOS SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR A DIFERENTES TIPOS DE FUNCIONES DE FORZAMIENTO
Hay dos tipos de funciones de transferencia de orden superior:
G(s)=Y(s)/X(s) =∏_(i=1)^n▒〖G_i (s) 〗= K/(∏_(i=1)^n▒(τ_i+1) ) (4-51)
G(s)=(Y(s))/(X(s))= (∏_(j=1)^m▒(τ_(〖ld〗_j ) s+1) )/(∏_(i=1)^n▒(τ_(〖ld〗_i ) s+1) ) (4-52)
Donde n>m
En esta sección se presenta la solución a estos sistemas de ordensuperior a diferentes tipos de funciones de forzamiento, específicamente a las funciones escalón y senoidal.
FUNCION ESCALON
Primero trataremos la ecuación (4-51), la cual se puede expresar de cualquiera de estas dos formas:
G(s)=Y(s)/X(s) = K/(〖(τ〗_1 s+1)(τ_2 s+1))=K/(τ_1 τ_2 s^2+(τ_1+τ_2 )s+1) (4-53)

G(s)=Y(s)/X(s) =K/(τ^2 s^2+2τεs+1)(4-54)
Donde
τ= constante de tiempo característica, tiempo
ε= tasa de amortiguamiento, dimensional

Las relaciones de la constante del tiempo y la tasa de amortiguamiento son:

τ=√(τ_1 τ_2 ) (4-55)

ε=(τ_1+τ_2)/(2√(τ_1 τ_2 ) ) (4-56)

La respuesta a una función de transferencia de segundo orden a un cambio escalón de magnitud unitaria en la función deforzamiento, X(S)=1/s, se obtiene a partir de la ecuación (4-54)

Y(s)= K/(s(τ^2 s^2+2τεs+1))= (Kr_1 r_2)/(s(s-r_1 )(s-r_2)) (4-57)

Donde

r_1=-ε/τ+√(ε^2-1)/τ (4-58)

r_2=-ε/τ-√(ε^2-1)/τ (4-59)

Observando las dos últimas ecuaciones se infiere que la respuesta de este sistema depende del calor de la razón de amortiguamiento ξ.
Para un valor de ξ c 1, las raíces r1 yr2 son complejas, y la respuesta que se obtiene del sistema, se expresa mediante la siguiente ecuación:

Y(t)=K[1-1/√(1-ε^2 ) e^(〖-ε〗_(1/τ) ) sin⁡〖(√(1-ε^2 ) 1/τ+〖tan〗^(-1) √(1-ε^2 )/ε) 〗 ] (4-60)

Como se puede ver gráficamente, la respuesta es oscilatoria y, por tanto, se dice que los sistemas de este tipo son subamortiguados (bajoamortiguados). La respuesta es aproximadamente másrápida al valor final, sin sobrepasarlo, y, en consecuencia, no hay oscilaciones. Los sistemas en que ε=1 se denomina cn’ticamente amortiguados.

Para un valor de ε=1, las raíces son reales e iguales; por lo cual se puede expresar la respuesta de la siguiente manera:

Y(t)=K[1-(1+1/τ) e^(-1/τ) ] (4-61)

Para un valor de ε>1 las raíces son reales y diferentes, la respuesta a estetipo de sistema la da:

Y(t)=K[1-〖0.5〗^(-εt/τ) [e^(√(ε^2-1)/τ) (1+ε/√(ε^2-1))+e^((-√(ε^2-1))/τ) (1-ε/√(ε^2-1)) ] ] (4-62)

La respuesta a este sistema también se puede ver en la grafica anterior, la respuesta jamás sobrepasa al valor final y su aproximación es más lenta que en los sistemas críticamente amortiguados. Se dice que este tipo de sistemas esta sonbreamortiguado.

La respuestade circuito abierto de la mayoría de los procesos industriales es similar a la críticamente amortiguada o a la sobre amortiguada, general mente no oscilan, sin embargo, puede haber oscilación cuando se cierra el circuito.

La cantidad amortiguamiento en un sistema de segundo orden se expresa mediante la razón de amortiguamiento, y esta, así como la constante de tiempo característica τ, dependende los parámetros físicos del proceso. Si cualquiera de los parámetros físico cambia, se reflejara en una variación en ε, τ o en ambas.

La principal diferencial al aplicar cambios escalón a los respuestas de primer y segundo orden es que la pendiente mayor no se presenta al inicio de la respuesta, en el de segundo orden, en la respuesta de primer orden la pendiente ocurre al principio de larespuesta. Otra diferencia es que los sistemas de primer orden no oscilan, mientras que en los de segundo orden pueden tener oscilaciones.

Ya que la respuesta a la mayoría de los circuitos cerrados es semejante a la respuesta subamortiguada, es necesario definir algunos términos con relación a la respuesta subamortiguada para tener claro la diferencia entre una respuesta subamortiguada y la...
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