Resumen de análisis matemático 1 utn

U.T.N. F.R.M.
Ingeniería Electrónica

Resumen de Análisis matemático I

Autores: Juan Pablo Martí

UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES
Entorno y Entorno Reducido
Entorno: E (a; δ ) (entorno de centro “a” y radio “δ”) E (a; δ ) = (a − δ ; a + δ ) = x − a < δ Entorno Reducido: E * (a; δ ) = E ′(a; δ ) (no incluye al punto a)

E * (a; δ ) = (a − δ ; a) ∪ (a; a + δ ) = 0 < x − a < δFunciones Par e Impar
Función Par: f: A→B será par ⇔ ∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y. Función Impar: f: A→B será impar ⇔ ∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = -f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de coordenadas.

UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición rigurosa de límite
Si lím f ( x) = l ⇔ ∀ε > 0; ∃δ (ε ) > 0 /(∀x : x ∈ Domf ∧ 0 < x − a < δ ) ⇒ f( x) − l < ε
x →a

Propiedad del Sándwich
Si lím f 1 ( x) = l ∧ lím f 2 ( x) = l ∧ ∀x ∈ E (a; δ ) : f 1 ( x) ≤ f 3 ( x) ≤ f 2 ( x) ⇒ lím f 3 ( x) = l
x→a x→ a

x→a

Algunos límites especiales
x → ±∞

lím f ( x) = l

I. II. III.

gr. P(x) = gr. Q(x) ⇒ l = Cociente entre los coeficientes principales de los re dos polinomios. gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ l = 0 gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ l = ∞Infinitésimos
f (x) es un infinitésimo en x = a ⇔ lím f ( x) = 0
x→a

Funciones infinitésimas equivalentes nciones
lím senx tgx senx tgx x x = lím = lím = lím = lím = lím =1 x →0 x →0 x x →0 tgx x →0 senx x →0 senx x → 0 tgx x

Definición de Continuidad
f ( x) es continua en x = a ⇔ en a cumple con las siguientes condiciones: 1. ∃f (a ) 2. ∃ lím f ( x) = l (único y finito)
x→aAutores: Juan Pablo Martí

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3. l = f (a )

Clasificación de Discontinuidad
Discontinuidad Evitable (aparente): Cuando no existe f (a ) pero ∃ lím f ( x) = l (único y finito). En ese caso se rearma la
x→a

función con varias reglas para que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA. para Discontinuidad No Evitable (no removible): Cuando noexiste f (a ) y no existe l único y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo valor se obtiene de l d − li , y puede ser finito o infinito.

Continuidad Lateral
Si f ( x) tiene límites laterales distintos en x = a , pero: 1. ∃ lím− f ( x) = l i = f (a ) ⇒ ∃ Continuidad Lateral Izquierda
x→a x→a

2. ∃ lím+ f ( x) = l d = f (a ) ⇒ ∃ Continuidad Lateral Derecha ral

Álgebra de las funcionescontinuas
Funciones Continuas en x = a f ( x) y k ∈ IR f ( x) y g ( x) f ( x) y g ( x) f ( x) y g ( x) ≠ 0
f ( x) y g ( x) (continua en f (a ) )

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Función continua en x = a k . f ( x) f ( x) + g ( x) f ( x).g ( x) f ( x) g ( x) ( gof )( x)

Autores: Juan Pablo Martí

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Resumen de Análisis matemático I

UNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALES IFERENCIALES
Recta secantey Recta tangente geométricas

Mtg (pendiente de la tangente) = lím

X → Xo

f ( x) − f ( x 0 ) x − x0

Incremento e incremento de la función
Incremento: ∆x = x − x 0 Incremento de la funció función: ∆y = f ( x ) − f ( x 0 ) = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )

Razón de cambio promedio (cociente incremental)
∆y f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = = ∆x x − x0 ∆x

Razón de cambioinstantánea
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y = lím X → Xo ∆x ∆x → 0 ∆x lím

Definición de derivada
y ' = f ' ( x) = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) dy ∆y = Df ( x) = lím = lím X → Xo ∆x ∆x → 0 dx ∆x

Función derivada
Es la función que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del punto elegido.
Autores: Juan Pablo Martí Página 3 Resumen de Análisis matemático I

Condición: Domf '⊆ Domf

Interpretación geométrica de la derivada
Es la pendiente de la recta tangente en el punto. f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) Mtg = f ' ( x) = lím ∆x → 0 ∆x

Punto anguloso y cuspidal
Si el cociente incremental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada mental única. Lo que puede ocurrir es: r 1. l d ≠ l i ( finitos ) ⇒ ∃2tg ⇒ tiene dos derivadas laterales ⇒ Existe Punto...