Resumen

BOLILLA Nº 1

GEOMETRÍA ANALÍTICA

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2), la distancia entre ellos, es decir, la longitud del segmento PQ está dada por:

PQ =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2



DEMOSTRACIÓN:

yQ

P R y2
y1
x1 x2 x

En un sistema de coordenadascartesianas rectangulares de ejes x e y y origen en el punto O consideramos los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2).
En el triángulos PRQ, por teorema de Pitágoras (“En todo triángulos rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”) se tiene:

PQ2 = PR2 + RQ2 (1)

Pero PR = x2 – x1 y RQ = y2 – y1

Por lo tanto, reemplazando en (1), resulta:

PQ2 =(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

PQ =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Que es lo que se quería probar.

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si P(x1,y1) y Q(x2,y2) son los extremos de un segmento, entonces las coordenadas del punto medio M de dicho segmento están dadas por:

yx = x1 + x2
Q 2
M M(x,y) donde

P y = y1 + y22
x

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

TRASLACION DE LOS EJES COORDENADOS

Sea un sistema de coordenadas de ejes x e y y origen el punto O. Consideramos un punto O ‘(h.k) y por él trazamos las rectas paralelasa los ejes coordenados, determinándose un nuevo sistema de ejes x’ e y‘ y origen O’. Las relaciones que vinculan las coordenadas originales de un punto P con las nuevas coordenadas son:


(1) x = x’ + h Permiten determinar las coordenadas originales
 y = y’ + k de un puntoconociendo las nuevas coordenadas


(2)x’ = x - h Permiten determinar las nuevas coordenadas de uny’ = y - k punto conociendo las coordenadas originales


DEMOSTRACIÓN:

y y’

y y’ Pk
O’ x’ x’

O h x x

Sea un sistema de coordenadas de ejes “x” e...