Riesgo

Definici´on 4.2 En el caso en que {N(t), t _ 0} es un proceso de Poisson homog
´eneo, X es llamado proceso de riesgo cl´asico o proceso de Poissoncompuesto.
Supongamos que N tiene intensidad _, i.e., E[N(t)] = _t, entonces
E[X(t)] = ct − E[
NX(t)
k=1
Zk] + u
= ct − E[N(t)]E(Zk) + u
= (c − _μ)t+ u.
Definici´on 4.3 La probabilidad de ruina (u), con capital inicial
Lema 4 Sea (U(t))t≥0 un proceso de riesgo, entonces para el modelo derenovaci
´on se tiene que:
V ar(U(t)) = μ2V ar(N(t)) + σ2E[N(t)], (1.16)
y para el modelo cl´asico Cram´er-Lundberg es:
V ar(U(t)) = λt(σ2 + μ2). (1.17)Demostraci´on.
Sea U(t) el proceso de riesgo en t > 0, entonces
V ar(U(t)) = V ar(u + ct − S(t))
= V ar(S(t)),
considerando que el proceso deln’umero de siniestros y el de los montos de
reclamaci’on son independientes, se tiene que
V ar(S(t) = E[(S(t))2] − E2[S(t)]
= E[E[(
N_(t)
i=1
Xi)2|N(t)]]− μ2E2[N(t)]
=
∞_
k=0
E[(
_k
i=1
Xi)2|N(t) = k]P[N(t) = k] − μ2E2[N(t)]
=
∞_
k=0
(
_k
i=1
E[X2
i ] +
_
i_=j
E[XiXj ])P[N(t) = k] −μ2E2[N(t)]
=
∞_
k=0
(k(σ2 + μ2) + k(k − 1)μ2)P[N(t) = k] − μ2E2[N(t)]
= (σ2 + μ2)E[N(t)] + μ2E[N2(t)] − μ2E[N(t)] − μ2E2[N(t)]
= σ2E[N(t)] + μ2Var(N(t))
Para el modelo cl’asico Cram’er-Lundberg la f’ormula anterior se reduce a
V ar(U(t)) = λt(σ2 + μ2).
Puesto que N(t) tiene distribuci’on Poisson conpar’ametro o tasa λt entonces
V ar(N(t)) = λt, sustituy’endolo en la expresi’on para la varianza obtenida
llegamos a lo deseado.
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Dentro