Robot

TEMA 3: HERRAMIENTAS
MATEMÁTICAS PARA LA
LOCALIZACIÓN INDUSTRIAL

Ingeniería de
Sistemas y
Automática

Control de Robots y
Sistemas Sensoriales

Robótica Industrial
ISA.- Ingeniería de Sistemas y Automática

Herramientas matemáticas
para la localización espacial
Representación de la posición
Representación de la orientación
Matrices de transformación homogénea
CuaterniosRelación y comparación entre métodos
Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

2

Localización espacial
Manipulación
de
piezas

Movimiento
espacial
del extremo
del robot

Necesidad de
herramientas matemáticas
para especificar
posición y orientación
Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

3

Representación de la posición
en coordenadas cartesianas
Z
Y
p(x,y,z)x
p(x,y)

z

a

Y

o
y
x

0

y
X

X

2 dimensiones

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

3 dimensiones

4

Representación de la posición
en coordenadas polares/cilíndricas
Z
Y
p(r,0,z)
p(r,0)

z

Y

O
r

r
0
0

O

X

X

Polares

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

Cilíndricas

5

Representación de la posición
encoordenadas esféricas
Z

p(r,0,0)

0
r

Y

O

0
X

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

6

Representación de la orientación.
Matrices de Rotación 2D
Y

Y

V

V
U

jy
iu

jv
O

U
a)

[

p xy = p x , p y

]

T

ix

O

X

b)

= p x ⋅ i x + p y ⋅ jy

p uv = [p u , p v ] = p u ⋅ i u + p v ⋅ j v
T

 i x iu
R=
 jy iu


X

αi x jv 

j y jv 


px
 pu
  = R 
pv
p y

 cos α
R =
 sen α

- sen α 

cos α 

• Una matriz de rotación es ortonormal: R-1=RT
Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

7

Representación de la orientación.
Matrices de Rotación 3D (I)
Z

Z

W

W

Y

V

O

α

V
α

α

Y

O

U
U
X

X
a)

b)

puvw = [ pu , p v , p w] = pu ⋅ i u + p v ⋅ jv + p w ⋅ k w
T

pxyw = [ p x , p y , p z ]T = p x ⋅ i x + p y ⋅ j y + p z ⋅ k z
 i x i u i x jv i x k w 


R =  j y i u jy jv j y k w 
 k z i u k z jv k z k w 



 px 
 
p y  = R
p 
 z

1
0

R( x ,α ) = 0 cos α
0 senα


Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

 pu 
 
 pv 
p 
 w
0 

- senα 
cos α

8

Representación de la orientación.
Matrices de Rotación 3D (II)
Z

Z

φ

W

W

θ
Y

V

O

Y

O
θ

φ

θ

φ
X

V

U

X

U
a)

 cos φ

R( y ,φ ) =  0
− sen φ


b)

0 sen φ 

1
0 
0 cos φ 


cos θ

R( z ,θ ) = sen θ
 0


Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

− sen θ
cos θ
0

0

0
1


9Representación de la orientación.
Composición de rotaciones
Orden de la composición:

‚ Rotación sobre OX
ƒ Rotación sobre YO
„ Rotación sobre OZ
Cθ

T = R( z ,θ ) R( y ,φ ) R( x ,α ) =  Sθ
0

CθCφ

=  SθCφ
 − Sφ


− Sθ
Cθ
0

0

0
1


 Cφ 0 Sφ 


0
1 0 

 − S φ 0 Cφ 



− SθCα + CθSφSα
CθCα + SθSφSα
CφSα

Robotica Industrial-Herramientas Matemáticas

1 0

0 Cα
0 Sα


0 

− Sα  =
Cα 


SθSα + CθSφCα 

− CθSα + SθSφCα 

CφCα

10

Representación de la orientación.
Angulos de Euler
‚ Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje OZ,
ƒ
„

convirtiéndose así en el OU'V'W'.
Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OU',
convirtiéndose así en el OU''V''W''.
Girarel sistema OU''V''W'' un ángulo ψ respecto al eje OW''
convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W'''
W '' W '''

Z W W'
φ

ψ
θ

V '''
ψ
V ''
θ
V'
φ

O
φ
θ
UX

Y V
ψ
U '''

U ' U ''

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11

Representación de la orientación.
Roll, Pitch y Yaw
‚ Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. (Yaw)
ƒ Girar...