Robotica

as traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según elvector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

d(P,Q) = d(T(P),T(Q)) = d(P',Q')\;

Más aún se cumple que:\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{P'Q'}

Notas:

1. La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
2. La figura trasladada conserva la misma orientación que la figura original.kroy maquio

[editar] Representación matricial

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneaspara representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz) puedeser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas comow = (wx, wy, wz, 1). En esas condiciónes una traslación puede ser repretentada por una matriz como:

T_{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} 1 & 0& 0 & v_x \ 0 & 1 & 0 & v_y \ 0 & 0 & 1 & v_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector dalugar al resultado esperado:

T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_x \ 0 & 1 & 0 & v_y \ 0 & 0 & 1 & v_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \ p_y \ p_z \ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x + v_x \ p_y + v_y \ p_z + v_z \ 1 \end{bmatrix} = \mathbf{p} + \mathbf{v} . \!

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de ladirección del vector desplazamiento

T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!

Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

T_{\mathbf{u}}T_{\mathbf{v}} =...