Robotica

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
ROBÓTICA
NOMBRE: DANIEL ROBERTO ZAPATA HIDALGO
FECHA: 2011-06-29
Determinar la matriz de velocidades (Jacobiana) para un robot articular.
Tenemos el robot en su posición inicial y se mueven sus brazos para llegar a la posición final mostrada en la figura:


* Tabla de parámetros de DENAVIT-HARTEMBERG.
| d| θ | a | α |
1 | d₁ | θ₁ | 0 | 90 |
2 | 0 | θ2 | a2 | 0 |
3 | 0 | θ₁ | a3 | 0 |

* Matriz del brazo de robot articulado

T=⁰A₁.1A₂.2A₃

Utilizando la matriz de DENAVIT-HARTEMBERG

cos(θ) | -sen(θ).cos(α) | sen(θ).sen(α) | a.cos(θ) |
sen(θ) | cos(θ).cos(α) | -cos(θ).sen(α) | a.sen(θ) |
0 | sen(α) | cos(α) | d |
0 | 0 | 0 | 1 |

Reemplazamos para los movimientos realizadospor el robot:
cos(θ₁) | -sen(θ₁).cos(α₁) | sen(θ₁).sen(α₁) | a₁.cos(θ₁) |
sen(θ₁) | cos(θ₁).cos(α₁) | -cos(θ₁).sen(α₁) | a₁.sen(θ₁) |
0 | sen(α₁) | cos(α₁) | d₁ |
0 | 0 | 0 | 1 |

⁰A₁ =

Con los valores de α₁=90, θ₁, d₁, a₁=0 tenemos la siguiente matriz.
cos(θ₁) | 0 | sen(θ₁) | 0 |
sen(θ₁) | 0 | -cos(θ₁) | 0 |
0 | 1 | 0 | d₁ |
0 | 0 | 0 | 1 |⁰A₁ =
cos(θ₂) | -sen(θ₂).cos(α₂) | sen(θ₂).sen(α₂) | a2.cos(θ₂) |
sen(θ₂) | cos(θ₂).cos(α₂) | -cos(θ₂).sen(α₂) | a2.sen(θ₂) |
0 | sen(α₂) | cos(α₂) | d₂ |
0 | 0 | 0 | 1 |


1A2 =

Con los valores de α₂=0, θ₂, d₂=0, a₂ tenemos la siguiente matriz.
cos(θ₂) | -sen(θ₂) | 0 | a2.cos(θ₂) |
sen(θ₂) | cos (θ₂) | 0 | a2.sen(θ₂) |
0 | 0 | 1| 0 |
0 | 0 | 0 | 1 |

1A₂ =


cos(θ₃) | -sen(θ₃).cos(α₃) | sen(θ₃).sen(α₃) | a3.cos(θ₃) |
sen(θ₃) | cos(θ₃).cos(α₃) | -cos(θ₃).sen(α₃) | a3.sen(θ₃) |
0 | sen(α₃) | cos(α₃) | d₃ |
0 | 0 | 0 | 1 |
2A₃ =

Con los valores de α₃=0, θ₃, d₃=0, a₃ tenemos la siguiente matriz.
cos(θ₃) | -sen(θ₃) | 0 | a3.cos(θ₃) |sen(θ₃) | cos(θ₃) | 0 | a3.sen(θ₃) |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 |

2A₃ =

Multiplicando las matrices anteriores tenemos:
cos(θ₁).cos(θ₂) | -cos(θ₁).sen(θ₂) | -sen(θ₁) | a2.cos(θ₂).cos(θ₁) |
sen(θ₁).cos(θ₂) | -sen(θ₁).sen(θ₂) | -cos(θ₁) | a2.cos(θ₂).sen(θ₁) |
sen(θ₂) | cos(θ₂) | 0 | a2.sen(θ₂)+ d₁ |
0 | 0 | 0 | 1 |⁰A₁.1A₂ =
Multiplicando por la otra matriz tenemos la matriz del brazo:
Cθ₁.Cθ₂.Cθ3-Cθ₁.Sθ₂.Sθ3 | -Cθ₁.Cθ₂.Sθ3-Cθ₁.Sθ₂.Cθ3 | Sθ₁ | a3.Cθ₁.Cθ₂.Cθ3+ a2.Cθ₁.Cθ₂-a3.Cθ₁.Sθ₂.Sθ3 |
Sθ₁.Cθ₂.Cθ3-Sθ₁.Sθ₂.Sθ3 | -Sθ₁.Cθ₂.Sθ3-Sθ₁.Sθ₂.Cθ3 | -Cθ₁ | a3. Sθ₁.Cθ₂.Cθ3+ a2.Sθ₁.Cθ₂-a3.Sθ₁.Sθ₂.Sθ3 |
Cθ₂.Sθ3+Sθ₂.Cθ3 | Cθ₂.Cθ3-Sθ₂.Sθ3 | 0 | a3.Cθ₂.Sθ3+ a3.Sθ₂.Cθ3+a2.Sθ₂+ d₁ |
0 | 0 | 0 | 1 |

T =

Conociendoque la matriz de posición del punto P es:
X= a3.cos(θ₁).cos(θ₂).cos(θ3)+ a2.cos(θ₁).cos(θ₂)-a3.cos(θ₁).sen(θ₂).sen(θ3) |
Y= a3. sen(θ₁).cos(θ₂).cos(θ3)+ a2.sen(θ₁).cos(θ₂)-a3.sen(θ₁).senθ₂.sen(θ3) |
Z= a3.cos(θ₂).sen(θ3)+ a3.sen(θ₂).cos(θ3)+a2.sen(θ₂)+ d₁ |

Realizamos el análisis de velocidades en el extremo del último eslabón. Determinamos las derivadas parciales con respecto a cadavariable independiente, así tenemos lo siguiente:
* Derivadas parciales para X
∂X∂θ₁=-a3.sen(θ₁).cos(θ₂).cos(θ3)-a2.sen(θ₁).cos(θ₂)+a3.sen(θ₁).sen(θ₂).sen(θ3)
∂X∂θ₂=-a3.cos(θ₁).sen(θ₂).cos(θ3)-a2.cos(θ₁).sen(θ₂)-a3.cos(θ₁).cos(θ₂).sen(θ3)
∂X∂θ3=-a3.cos(θ₁).cos(θ₂).sen(θ3)-a3.cos(θ₁).sen(θ₂).cos(θ3)
* Derivadas parciales para Y∂Y∂θ₁=a3.cos(θ₁).cos(θ₂).cos(θ3)+a2.cos(θ₁).cos(θ₂)-a3.cos(θ₁).sen(θ₂).sen(θ3)
∂Y∂θ₂=-a3.sen(θ₁).sen(θ₂).cos(θ3)-a2.sen(θ₁).sen(θ₂)-a3.sen(θ₁).cos(θ₂).sen(θ3)
∂Y∂θ3=-a3.sen(θ₁).cos(θ₂).sen(θ3)-a3.sen(θ₁).sen(θ₂).cos(θ3)
* Derivadas parciales para Z
∂Z∂θ₁=0
∂Z∂θ₂=-a3.sen(θ₂).sen(θ3)+a3.cos(θ₂).cos(θ3)+a2.cos(θ₂)
∂Z∂θ3=a3.cos(θ₂).cos(θ3)-a3.sen(θ₂).sen(θ3)
Conociendo que: dX=∂X∂θ1.dθ1+∂X∂θ2.dθ2+∂X∂θ3.dθ3
Derivando respecto al tiempo...
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