secciones conicas

República Bolivariana de Venezuela
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Veroes - edo. Yaracuy.


SECCIONES CONICAS.


Ingeniería civil.

Historia de las Secciones Cónicas
Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudiosistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga.
Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las secciones cónicas se obtienenpor secciones de cilindros y conos por planos.
4.1 Secciones Cónicas
Cónica es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo a de la superficie cónica y del ángulo b que forma el plano  con el eje e.


Si b > a entonces el plano corta a todas las generatrices de lasuperficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si b " a se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome b.

Si b = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.


Si b > a y b  0 y b < 0, no hay problema para completar cuadrados a la parte de la ecuación
ax2 +by2 + cx + dy = f que involucra la equis: ax2 + cx = a(x - h)2 + m. En cuanto a la parte de la ecuación con las yes: by2 + dy = -( | b | y2 – dy) y en | b | y2 – dy sí se puede completar cuadrados, de donde | b | y2 – dy = | b |(y - k)2 + n y la ecuación original:
ax2 + by2 + cx + dy = f queda a(x - h)2 + m – [| b | (y - k)2 + n] = f ó
– = f + am + | b | n, denotando f + am +| b | n con la letra r se tiene
4.2 Circunferencia.
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.


Ecuación de la circunferencia.
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas,


Lascoordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados(trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos
x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos   – 2a = D;     – 2b = E;     F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación  x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3
 E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4).  Hallemos el radio
 F = (– 3)2 +42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 3
Elementos de la  circunferencia
Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por elcentro).
Cuerda: el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).

Recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Punto de tangencia: el de contacto de la recta tangente con la circunferencia.
Arco: el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la...