Secciones conicas

Capítulo 1: Secciones Cónicas

Resumen En este apartado se trata sobre la definición, caractrización y graficación de las Secciones Cónicas. Primero se definen las secciones cónicas como la curva de intersección entre un cono doble y un plano. Posteriormente se definen como la grafica de una ecuación general de segundo grado y por último como el conjunto de puntos que satisface cierta propiedadgeométrica.

Contenidos
1 Secciones Cónicas 1.1 La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ecuación canónica de la parábola . . . 1.2 La circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 La ecuación canónica de la elipse: . . . 1.4 La hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 La ecuación canónica de una hipérbola 1.5Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2 3 4 9 11 12 18 20 28

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Jorge Monge Fallas

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Secciones Cónicas
• En forma visual, en la cual las secciones cónicas se pueden ver como la curva que se obtienen de la intersección entre un plano y un cono doble. • En una forma análitica, en esta las secciones cónicas correspoden a la gráfica de la ecuación general de segundo grado. • Como un conjunto de puntos en elplano que satisfacen cierta propiedad geométrica.

Las secciones cónicas se pueden definer de tres formas distintas:

La primera de ellas se muestra en las figuras 1, 2, 3 y 4, a cada una de las curvas que resaltan se le llama una sección cónica.

Figura 1. Parábola

Figura 2. Elipse

Figura 3. Hipérbola

Figura 4. Circunferencia

Las figuras anteriores nos dan una idea visual de lo quellamamos secciones cónicas, además nos muestran las distintas secciones cónicas que llamaremos: parábola, circunferencia, elipse e hipérbola. Otra de las formas en que se definen las secciones cónicas es a partir de la ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (1) para A, B, C, D, E, F ∈ R con A y B ambos no nulos. La gráfica correspondiente al conjunto de puntos (x, y) quesatisfacen (1) corresponde a una sección cónica. Como ejemplo de ello consideremos la ecuación x2 + 4y + y 2 − 2x − 5 = 0 es decir A = 1, B = 0, C = 1, D = −2, E = 4 y F = −5 la gráfica correspondiente a esta ecuación se muestra en la figura 5 2

1.1 La parábola

Jorge Monge Fallas

y

1

-2

-1 -1 -2 -3

1

2

3

4

x

Figura 5. x2 + 4y + y 2 − 2x − 5 = 0 y corresponde auna elipse. Por último las cónicas se pueden definir como un locus (colección) de puntos en el plano que satisfacen cierta propiedad geométrica. Esta propiedad geométrica nos lleva a obtener una ecuación canónica, la ecuación canónica es una ecuación que caracteriza en forma completa los elementos que se destacan en la gráfica de la cónica. Acontinuación definimos cada una de las secciones cónicas.1.1

La parábola

Definición 1 Una parábola es el conjunto de puntos del plano que están a distancias iguales de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz . En la figura 6 se muestran los elementos característicos de la parábola, tales como el foco F , el vértice V, la directriz, el eje de simetría . Y la condición que deben satisfacer los puntos que pertenecen a la parábola .Figura 6. En la figura 7 se establecen las coordenadas generales del vértice V = (h, k), las coordenadas del foco F = (h, k + c), donde |c| es la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz. La ecuación de la directriz en este caso viene dada por y = k − c y la ecuación del eje de simetría x = h . 3

1.1 La parábola

Jorge Monge Fallas

Figura 7. Además al segmento AB...