Secciones conicas

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Secciones C´nicas o
0.1 Par´bolas a

Las secciones c´nicas, tambi´n llamadas c´nicas, se obtienen cortando un o e o cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posici´n del plano se o tiene un c´rculo, una elipse, una par´bola o una hip´rbola. ı a e Las c´nicas degeneradas (o degradadas) se obtienen si el plano corta al o cono en un s´lo punto o a lo largo de una o dos rectassituadas en el cono. o Con base al trabajo del capitulo anterior, si a = 0, la gr´fica de y = a ax2 + bx + c es una par´bola con eje vertical. A continuaci´n daremos una a o definici´n general de una par´bola y llegaremos a ecuaciones de par´bolas o a a que tienen eje vertical u horizontal. Definici´n 1 Una par´bola es el conjunto de todos los puntos de un plano o a equidistantes de un punto fijo F (foco) yde una recta fija l (directriz) situada en el plano. Supondremos que f no est´ en l, si estuviera, tendr´ a ıamos una recta en lugar de una par´bola. a Si P es un punto del plano y P es el punto en l determinado por una recta que pasa por P y es perpendicular a l (ver figura), por la definici´n o anterior, P est´ sobre la par´bola si y s´lo si a a o d(P, F ) = d(P, P ). El eje de la par´bola es larecta que pasa por F y es perpendicular a la a directriz. El v´rtice de la par´bola es el punto V sobre el eje que se encuentra a la e a mitad de F a l. 1

Ejemplo: A fin de obtener una ecuaci´n sencilla para una par´bola, con o a sideremos F (0, p) como foco (p = 0) y y = −p como directriz. Por la f´rmula de la distancia, un punto P (x, y) est´ sobre la par´bola si o a a y s´lo si d(P, F ) = d(P,P ), esto es, si o (x − 0)2 + (y − p)2 = (x − x)2 + (y + p)2

6

• P (x, y) F (0, p) •
 ? -

• (x, −p)

y = −p

Elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos: x2 + (y − p)2 = (y + p)2 x2 + y 2 − 2py + p2 = y 2 + 2py + p2 x2 = 4py. Una ecuaci´n equivalente es: y = o
1 2 x. 4p

Si p > 0, la par´bola abre hacia a

arriba; si p < 0, la par´bola abre hacia abajo. a Si intercambiamoslos papeles de x e y, resulta y 2 = 4px o bien, lo que es equivalente x =
1 2 y . 4p

Esta es una ecuaci´n de una par´bola con v´rtice en o a e

el origen, foco F (p, 0) y abre a la derecha si p > 0, o la izquierda si p < 0. La ecuaci´n de la directriz es x = −p. o Ejemplo: Encontremos el foco de la par´bola y = − 1 x2 . Para ello oba 6 2

1 servemos que tiene la forma y = ax2 con a = − 6. Dado, por el ejemplo

anterior, que a =

1 , 4p

entonces p =

1 4a

=

As´ la par´bola abre hacia abajo y tiene foco F (0, − 3 ). La directriz es ı, a 2
3 la recta horizontal y = 2 .

1 4(− 1 ) 6

=

1 −4 6

3 = −2.

Si tomamos una ecuaci´n est´ndar de una par´bola, esto es de la forma o a a x2 = 4py, y cambiamos x por x − h y y por y − k, entonces x2 = 4py se convierteen (x − h)2 = 4p(y − k). Por nuestro an´lisis sobre traslaciones del cap´ a ıtulo anterior, reconocemos que la gr´fica de la segunda ecuaci´n se puede obtener a partir de la gr´fica de a o a la primera. De esta manera, el v´rtice pasa de (0, 0) a (h, k). e Elevando al cuadrado el lado izquierdo de la ecuaci´n anterior y simplifio cando, nos lleva a una ecuaci´n de la forma y = ax2 + bx + c.An´logamente, o a si comenzamos con (y − k)2 = 4p(x − h), podemos escribir en la forma x = ay 2 + by + c. Ejemplo: Analicemos la gr´fica de 2x = y 2 + 8y + 22. Ya que el t´rmino al a e cuadrado es en y, la gr´fica es una par´bola con un eje horizontal. Escribimos a a la ecuaci´n dada como o y 2 + 8y + = 2x − 22 +

y luego completamos el cuadrado al sumar [ 1 8]2 a ambos lados: 2 y 2 + 8y + 16 = 2x − 6 (y +4)2 = 2(x − 3). De esta manera, el v´rtice V (h, k) es V (3, −4). e Obsservemos tambi´n que 4p = 2 ´ p = e o h−p=3−
1 2 1 . 2

Esto da que el foco es

7 F (h + p, k) = F (3 + 1 , −4) = F ( 2 , −4). Finalmente, la directriz es x = 2

= 5. 2 3

0.2

Elipses

Definici´n 2 Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano, tal o que la suma de sus distancias a dos puntos fijos...
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