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Páginas: 3 (718 palabras)
Publicado: 25 de julio de 2012
Raíces Múltiples.
Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangente al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de
f(x) = (x-3)(x-1)(x-1)
multiplicando términoseste polinomio luce como
f(x) = x3 - 5x2 + 7x – 3
En la siguiente figura podemos ver como la función toca tangencialmente el eje de la x, en el punto donde existe la raíz doble.
Dela figura podemos ver algunos de los problemas asociados con raíces múltiples, dichos problemas son:
Dado que la función no cambia de signo, utilizar métodos basados en intervalos, como son elmétodo de bisecciones, regula Falsi, etc. Otro problema es que cerca de la solución, la derivada tiende a cero, lo cual provoca que en el algoritmo de Newton-Raphson tenga problemas de convergencia altener una división por cero.
Ralston y Rabinowitz (1978) proponen que se haga un pequeño cambio en la formulación para que retorne la convergencia, así la formulación para el método de Newton-Raphsones
en donde m, es la multiplicidad de la raíz. Para este caso será necesario conocer a priori el número de raíces multiples.
Otra alternativa propuesta por Ralston y Rabinowitz (1978) esla de definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función y su derivada
Se puede mostrar esta función tiene las mismas raíces que f(x) y que la multiplicidad de raíces noafectará. La formulación del método de Newton-Raphson es:
La derivada de u(x) es:
Sustituyendo esta, tenemos la formulación final del Método de Newton-Raphson modificado.
Métodode Newton Raphson para raíces múltiples.
El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que unodebe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.
Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado a la función f...
Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangente al eje x. Por ejemplo, una raíz doble resulta de
f(x) = (x-3)(x-1)(x-1)
multiplicando términoseste polinomio luce como
f(x) = x3 - 5x2 + 7x – 3
En la siguiente figura podemos ver como la función toca tangencialmente el eje de la x, en el punto donde existe la raíz doble.
Dela figura podemos ver algunos de los problemas asociados con raíces múltiples, dichos problemas son:
Dado que la función no cambia de signo, utilizar métodos basados en intervalos, como son elmétodo de bisecciones, regula Falsi, etc. Otro problema es que cerca de la solución, la derivada tiende a cero, lo cual provoca que en el algoritmo de Newton-Raphson tenga problemas de convergencia altener una división por cero.
Ralston y Rabinowitz (1978) proponen que se haga un pequeño cambio en la formulación para que retorne la convergencia, así la formulación para el método de Newton-Raphsones
en donde m, es la multiplicidad de la raíz. Para este caso será necesario conocer a priori el número de raíces multiples.
Otra alternativa propuesta por Ralston y Rabinowitz (1978) esla de definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función y su derivada
Se puede mostrar esta función tiene las mismas raíces que f(x) y que la multiplicidad de raíces noafectará. La formulación del método de Newton-Raphson es:
La derivada de u(x) es:
Sustituyendo esta, tenemos la formulación final del Método de Newton-Raphson modificado.
Métodode Newton Raphson para raíces múltiples.
El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que unodebe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.
Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado aplicado a la función f...
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