series de fourier

SERIES DE FOURIER

Las llamadas series de Fourier son desarrollos en los que cada término es una función y por lo tanto el resultado de toda la sumatoria también lo será. Estas series funcionales se utilizan para representar o expresar funciones periódicas.

Es necesario definir, entonces, qué es una función periódica. Es aquella función cuyos valores se repiten conforme un determinadointervalo T.

Este intervalo de repetición de los valores de la función es justamente el periodo T que le da su nombre.

Analíticamente, las funciones periódicas son entonces las que cumplen:

f(x) = f(x + nT)

donde n = 1, 2, 3, 4, 5, ...

por lo tanto para cualquier número entero de veces T, los valores de la función periódica se repiten.

Gráficamente:




Estas funcionespresentan interesantes propiedades, por ejemplo, dadas dos funciones periódicas, generalmente su suma lineal es también una función periódica.

Vale decir, dadas g(x) y f(x) periódicas, se comprueba que h(x) = a f(x) + b g(x) será también una función periódica.

Un ejemplo muy conocido de funciones periódicas son las funciones trigonométricas, para las cuales, en particular, el periodo vale T =2π

Hay funciones periódicas que admiten un desarrollo en serie en base a funciones trigonométricas, vale decir que todos los términos de la serie son funciones de este tipo, por ejemplo:

f(x) = a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x + a3 cos 3x + b3 sen 3x + ......


si se observa detenidamente, todos los términos responden a una ley de formación, lo que permite resumir eldesarrollo en una serie, expresándolo en base a una sumatoria.

De este modo, resulta:

∞
f(x) = ∑ (an cos nx + bn sen nx)
n = 0

y ésta es la que se denomina forma trigonométrica de la serie de Fourier. En la cual los valores (ai bi) son los coeficientes de la serie.

Cada término de la serie tiene periodo T = 2π, aún el término independiente a0 porque al ser unaconstante cumple con la definición de función periódica dado que sus valores se repiten.

En realidad, se prefiere la siguiente expresión para la serie trigonométrica de Fourier:

∞
f(x) = a0 + ∑ (an cos nx + bn sen nx) (1)
n = 1

que es totalmente equivalente a la anterior, pero es preferible que el coeficiente a0 aparezca separadoporque su forma de cálculo es diferente de la del resto de los coeficientes ai

Para que esta forma trigonométrica de la serie de Fourier sea apta para desarrollar o representar una función periódica, lo que falta es obtener un método de cálculo o determinación de los coeficientes correspondientes.


CALCULO DE LOS COEFICIENTES:

Para evaluar los coeficientes, en la expresión (1) se puedeintegrar miembro a miembro, entre los extremos de integración -π y π, resultando:

π π π
⌠f(x) dx = ⌠a0 dx + ∑ ⌠ (an cos nx + bn sen nx) dx
⌡ ⌡ ⌡
- π -π -π

Como los términos de la sumatoria son periódicos, y por lo tanto sus valores se repiten, essuficiente con calcular uno solo de ellos, por ejemplo para n = 1, por simplicidad.

Entonces:

∫ a1 cos x dx + ∫ b1 sen x dx entre los mismos límites de integración (-π y π)

resultará:

π π
a1 [sen x] - b1 [cos x] = 0
-π -π

y por la periodicidad estos valores se repetirán para todo valor de n, porlo tanto la expresión anterior se reduce a:


∫ f(x) dx = ∫ a0 dx = a0 ∫ dx

y entre los límites de integración considerados, el resultado es:

∫ f(x) dx = 2π a0


por lo tanto, si se despeja el coeficiente:


a0 = 1/2π ∫ f(x) dx


Para calcular el resto de los coeficientes se puede seguir un procedimiento análogo, partiendo de la expresión (1), se multiplica miembro a...