series de fourier

N

UNIVERSIDAD
PRIVADA DEL NORTE

CURSO: CÁLCULO 4
Tema:

1.
1.1.

SERIE DE FOURIER

Serie de Fourier.
Introducci´n.
o

Las series de Fourier surgieron durante el siglo XVIII como una soluci´n formal a la
o
ecuaci´n de onda cl´sica. M´s tarde, fueron utilizadas para describir los procesos f´
o
a
a
ısicos en los
que los acontecimientos se repiten en un patr´n regular. Porejemplo, una nota musical por lo
o
general consiste de una simple nota, llamada fundamental, y una serie de vibraciones auxiliares,
llamados sobretonos. El Teorema de Fourier proporciona el lenguaje matem´tico que nos permite
a
describir con precisi´n esta compleja estructura.
o

1.2.

Series de Fourier.

Una de las glorias supremas de las matem´ticas del siglo XIX fue el descubrimientode
a
que la serie infinita,

f (t) =

a0
+
2

∞

nπt
L

an cos
n=1

+ bn sen

nπt
L

(1)

puede representar una funci´n f (t) bajo ciertas condiciones generales. Estas series, llamadas
o
series de Fourier, convergen hacia la funci´n f (t) en cada punto del intervalo [−L, L] con posible
o
excepci´n de puntos de discontinuidad y puntos extremos del intervalo. Debido aque cada
o
t´rmino tiene un per´
e
ıodo de 2L, la suma de la serie tambi´n tiene el mismo per´
e
ıodo. El t´rmino
e
fundamental de la funci´n peri´dica f (t) es el t´rmino para n = 1, mientras que los arm´nicos
o
o
e
o
son el resto de los t´rminos cuyas frecuencias son m´ltiplos enteros del t´rmino fundamental.
e
u
e
Ahora tenemos que encontrar alg´n m´todo sencillo para calcularlos coeficientes an y bn
u
e
para un funci´n f (t) dada. Como un primer intento, podemos integrar (1) t´rmino a t´rmino
o
e
e
desde −L a L. En el lado derecho, todas las integrales multiplicadas por an y bn desaparecen
debido a que el promedio de cos (nπt/L) y sen (nπt/L) es cero. Por lo tanto, nos quedamos con,

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Departamento de Ciencias

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a0 =

1
L

L

f (t) dt

(2)

−L

En consecuencia a0 es dos veces el valor medio de f (t) sobre un per´
ıodo.
A continuaci´n multiplicamos cada lado de (1) por cos (mπt/L), en donde m es un entero
o
prefijado.
Integrando de −L a L,
L

f (t) cos
−L
∞

L

cos

an

+

−L

n=1
∞

L

sen

bn

+
n=1

L

a0
mπt
dt =
L
2

−L

nπtL

cos
−L

cos

nπt
L

cos

mπt
dt+
L

mπt
dt+
L

(3)

mπt
dt
L

Los t´rminos a0 y bn desaparecen por integraci´n directa. Finalmente todas las integrales an
e
o
desaparecen cuando n = m. Consecuentemente (3) se reduce a,

an =

1
L

L

f (t) cos
−L

nπt
dt
L

(4)

L

porque −L cos2 (nπt/L)dt = L. Ahora, multiplicando ambos lados de (1) por sen(mπt/L) (m
es nuevamente un entero prefijado), e integrando de −L a L,

bn =

1
L

L

f (t) sen
−L

nπt
dt
L

(5)

Aunque (2), (4) y (5) nos dan a0 , an y bn , para funciones peri´dicas sobre el intervalo
o
[−L, L], en ciertas situaciones es conveniente considerar el intervalo [τ, τ + 2L], en donde τ es
cierto n´mero real. En este caso, (1) todav´ ofrece la serie de Fourier de f(t) y,
u
ıa

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a0 =
an =
bn =

1
L
1
L

1
L

τ +2L

f (t)dt
τ

τ +2L

f (t) cos

nπt
dt
L

f (t) sen

nπt
dt
L

τ
τ +2L
τ

(6)

Estos resultados se mantienen para una funci´n f (t) peri´dica extendida desde el menos infinito
o
o
al m´s infinito. Por lo tanto,los resultados deben permanecer inalterados, al pasar del intervalo
a
[−L, L] al nuevo intervalo [τ, τ + 2L].
Ahora nos formulamos las siguientes interrogantes: ¿qu´ tipo de funciones tienen series de
e
Fourier?; si la funci´n es discontinua en un punto ¿qu´ valor tendr´ su serie de Fourier?. Estas
o
e
a
interrogantes fueron respondidas por Dirichlet en la primera mitad del siglo XIX....