Series geometricas

CRITERIO DE SERIES GEOMETRICAS Dr. Freddie Santiago Matemáticas UPRM ¿Qué es una serie geométrica? Una serie geométrica es una serie infinita en donde la razón entre términos consecutivos esconstante. Esa razón constante tradicionalmente se identifica con r . El primer término de la serie tradicionalmente se identifica con a . Las constantes r y a pueden ser positivas o negativas. La fórmula deuna serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:

∑ ar n n
=1

∞

−1

= a + ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …

Ejemplo 1 Considerar la serie:
2 ∑1 3  5    n=
∞

n −1=3+

6 12 24 48 96 + + + + +… 5 25 125 625 3025

La razón entre términos consecutivos es siempre 2 : 5 6 / 5 12 / 25 24 /125 48 / 625 96 / 3025 2 = = = = =…= 3 6 /5 12 / 25 24 /125 48 / 625 5Esta serie es geométrica, con r = Ejemplo 2 Considerar la serie:

2 y a = 3. 5

∑ 2n + 1 = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … n
=1

∞

n

1

2

3

4

5

La razón entre términos consecutivosno es constante:
2 /5 2 3 6 = = 1/3 5 1 5 3 / 7 3 5 15 = = 2 / 5 7 2 14 4 / 9 4 7 28 = = 3 / 7 9 3 27 …

Esta serie no es geométrica.

Criterio De Series Geometricas (CSG): a. Si r < 1 , laserie geométrica b. Si r ≥ 1 , la serie geométrica

∑ ar n n
=1

∞

−1

CONVERGE. Su suma es: S = DIVERGE.

a
1−r

∑ ar n n
=1

∞

−1

Por si las moscas: El Criterio de SeriesGeométricas se puede aplicar solamente a series geométricas. Usaremos otros criterios para otros tipos de series. Ejemplo 1 Considerar la serie:
 2 ∑1 4  − 3    n=
∞

n −1

=4−

8 16 32 64 128 +− + − +… 3 9 27 81 243

Esta es una serie geométrica con: r = −

2 y a = 4. 3

Como r = −

2 2 = < 1 , esta serie CONVERGE POR EL CRITERIO DE SERIES 3 3 GEOMETRICAS. a 4 12 Su suma es: S = == . 1−r  2 5 1− −   3

Ejemplo 2 Considerar la serie:
5 ∑1 2  3    n=
∞

n −1

=2+

10 50 250 1250 6250 + + + + +… 3 9 27 81 243

Esta es una serie geométrica con: r =

5...