Series

Capítulo 1 Series de números reales
1.1 Series
1 X n=1

De…nición 1.1. Una serie de números reales es una expresión de la forma a1 + a2 + + an +
1 P

=

an

donde an 2 R es el n-ésimo termino de la serie La expresión Sn =
n!1 k=1 n P

n=1

an , para todo n 2 N.
n=1 1 P

ak es llamada la n-ésima suma parcial de la serie
n=1 1 X n=1 1 P

an , para todo

n 2 N. Si lim Sn = S2 R, entonces

an es llamada convergente y an = S.
1 P

n!1

lim Sn =

El número real S es llamada la suma de la serie llamada divergente.

an . Si no existe S, entonces la serie es

n=1

Ejemplo 1.1. Un ejemplo de una serie in…nita es la serie geométrica a + ar + ar +
2

+ ar

n 1

+

=

1 X n=1

arn

1

a 6= 0

La serie geométrica es convergente si jrj < 1 y susuma es
1 X n=1

arn

1

=

a 1 r

jrj < 1

Si jrj

1, la serie geométrica es divergente.
1 X1 1 1 =1+ + + n 2 3 n=1

Ejemplo 1.2. La serie armónica

es divergente.

1

MATEMATICAS II MA123G
1 P

Teorema 1.1. Si la serie

an es convergente, entonces lim an = 0.
n!1

n=1

n=1

Teorema 1.2 (Test de Divergencia). Si lim an no existe o si lim an 6= 0, entonces laserie n!1 n!1 1 P an es divergente.
n=1 1 P

Teorema 1.3. Si

an y

c es una constante), 1. 2. 3.
1 P

n=1

can = c

n=1 1 P

n=1

1 P

1 P

n=1

(an + bn ) y

1 P

bn son series convergentes, entonces las series
n=1 1 P

n=1

(an

bn ), también convergen, y

1 P

can (donde

an
1 P

(an + bn ) = (an bn ) =

an + an

n=1 1 P

n=1 1 P

n=1 1 P

1P

bn bn

n=1

n=1

n=1

1.2

Criterios de la Razón y la Raíz
n=1 1 P

Teorema 1.4 (Criterio de la Razón). Sea

an una serie de términos distintos de cero y an+1 an

L = lim entonces: 1. Si L < 1, la serie
1 P

n!1

an es convergente.
1 P

n=1

2. Si L > 1 o L = +1, la serie

an es divergente.
1 P

n=1

Teorema 1.5 (Criterio de la Raíz). Sea

an una serie detérminos distintos de cero y p n jan j

n=1

L = lim entonces: 1. Si L < 1, la serie
1 P

n!1

an es convergente.
1 P

n=1

2. Si L > 1 o L = +1, la serie

an es divergente.

n=1

Ejemplo 1.3. Determine si la serie es convergente o divergente (a)
1 P 5n . n=1 n!

Elaborado por el Lic. Pablo J. Galarreta A.

2

MATEMATICAS II MA123G
1 P 1 . 4n n=1 n

(b)

Solución:(a) Por el Criterio de la Razón L = an+1 an 5n+1 n! = lim n!1 (n + 1)! 5n 5 =0 an+1 > 0 para todo n 2 N y lim an = 0. Entonces:
n!1 1 X n=1

( 1)n

1

an tal

1. La serie alternante
n X k=1

1 X n=1 1

( 1)n

1

an es convergente a S 2 R.

2. Si Sn =

( 1)k

ak , para n = 1; 2; : : :, entonces jS Sn j < an+1

para todo n 2 N. Es decir, Sn aproxima a S con un errorabsoluto menor que an+1 . Ejemplo 1.4. Sea la serie alternante 1 1 1 + 2 3 1 + 4 ( 1)n + n
1 1 X ( 1)n = n n=1 1

+

En este caso an =

1 para todo n 2 N. Se tiene: n 1 1 > > 0 =) an > an+1 > 0 para todo n 2 N. n n+1 3

(i) 0 < n < n + 1 =)

Elaborado por el Lic. Pablo J. Galarreta A.

MATEMATICAS II MA123G 1 = 0: n!1 n
1 X ( 1)n n n=1 1

(ii) lim an = lim
n!1

Por el criterio de lasseries alternantes,

es convergente.

1 X 1 Observación 1.1. La serie p, de…nida por es convergente si p > 1, y divergente si np n=1 p 1.

1.3

Series de potencias
a es una serie

De…nición 1.2. Sea a 2 R y x una variable. Una serie de potencias en x de la forma
1 X n=0

cn (x

a)n = c0 + c1 (x

a) + c2 (x

a)2 + : : : + cn (x

a)n + : : :

donde cn 2 R, para todo n 2 N0 .Teorema 1.7. Si
1 X n=0

cn (x

a)n es una serie de potencias, entonces se cumple una y sólo

una de las 3 a…rmaciones siguientes: 1. La serie converge sólo para x = a. 2. La serie converge para todo x 2 R. 3. Existe un número positivo r tal que la serie converge para jx jx aj > r. aj < r y diverge para

Observación 1.2. En el teorema anterior, el número r del caso 3 es llamado el radio...