Series

ROSA MARÍA MORENO WENDULAY
206F

“SERIES”

CALCULO INTEGRAL

Q.C NAYELI LARA REYES

SOLEDAD DE DOBLADO, VERACRUZ A 17/MAYO/2012
4.1 DEFINICION DE SERIES
Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo desumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir deuna determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia delas series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

4.1.1 SERIES FINITAS
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferenciasfinitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada, es decir,Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Porejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

4.1.2SERIE INFINITA
* Primer ejemplo. Sean, sea y. Entonces

Por definición y por la fórmula binomial. Dado que, formalmente, y, se ha demostrado que. Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamenteconvergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula para todo.

* Segundo ejemplo. Sea para todo. Entonces para todo. Por lo tanto el producto de Cauchy y no es convergente.

4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIO DE D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY).
El Criterio de d'Alembert seutiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de
Se obtiene un número L, con los siguientes casos:

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo dela siguiente manera: Sea:

Tal que:
§ F(n) > 0 (o sea una sucesión de términos positivos) y
§ F(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:
Con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:
§ L < 1 la serie converge
§ L > 1 la serie diverge
§ L = 1 el criterio no sirve...