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Sucesiones sumables (Series) Mario Augusto Bunge Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires

El símbolo de sumatoria Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos a1 , a2 , a3 ,… , an y consideramos su suma a1 + a2 + a3 + ... + an En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma ∑ , llamado sumatoria, cuya utilizaciónpasamos a describir. Pondremos

∑a
k =1

n

k

= a1 + a2 + a3 + ... + an

En el especial caso en que sea n = 1 ,

∑a
k =1

1

k

= a1 .

El elemento ak se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general. El número k que figura debajo del símbolo ∑ se llama índice de sumación, y entendemos que los valores quetoma este índice son 1, 2, … , n Más generalmente, si p y q son dos números enteros, con p ≤ q , pondremos

∑a
k= p

q

k

= a p + a p +1 + " + aq

En este contexto, el número p se llama límite inferior de la suma , en tanto q es el límite superior de esa suma.
Ejemplos. a)

Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales: 12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , 7 2 , 82, 92 , 102

o sea, 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 Como es fácil ver, el término general es ak = k 2 , con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado

∑k
k =1

10

2

. Así, se tiene la igualdad

∑k
k =1

10

2

= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 ,

2

donde el lado izquierdo debe entenderse como una notación máscompacta del lado derecho. Si queremos considerar solamente 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 pondremos

∑k
k =3

10

2

= 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102

3
n

b)

La suma p + p + " + p , con la notación de sumatoria, se escribe #$ %$$ $ &
n sumandos

∑ p , lo cual
k =1

no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala se debe a que no figuraalgo así como ak , cosa que se subsanaría formalmente definiendo a1 = a2 = " = an = p . Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil. Con esta notación,

∑1 = 5 , ya que estamos sumando el número 1 a medida que avanza
k =3

7

el índice de sumación: k = 3, 4,5, 6, 7 habiendo entonces (7 − 3) + 1 sumandos. Por lo
mismo, el lector entenderá las igualdades
c)

∑1 = n
k=1

n

y

∑1 = n + 1 .
k =0

n

Fijemos un número real r , y consideremos sus primeras potencias

r 0 , r1 , r 2 , r 3 , r 4 , … , r n Utilizando la notación estándar para su suma, se tiene r 0 + r1 + r 2 + r 3 + " + r n . Con la notación compacta, y teniendo presente que el término general es r k , ponemos

∑r
k =0

n

k

.

Así

∑r
k =0

n

k

= r 0 + r1 + r 2 +r 3 + " + r n

Como r 0 = 1 y r1 = r , será más natural poner 1+ r + r2 + r3 +" + rn Volveremos sobre esta suma.
Observación. Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto, seremos dueños, y no esclavos, delsímbolo de sumatoria.

4

Propiedades elementales de la sumatoria

Sean dos listas finitas de números, digamos a1 , a2 ,… , an y b1 , b2 ,… , bn . Entonces se cumplen las siguientes propiedades.


Aditividad (suma término a término)

∑(a
k =1

n

k

+ bk ) = ∑ ak + ∑ bk
k =1 k =1

n

n



Homogeneidad (sacar los escalares afuera)

∑ λ ak = λ ∑ ak
k =1 k =1

n

n

(λ es un número fijo)

Prueba de la aditividad.

Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma

∑(a
k =1

n

k

+ bk ) = ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + " + ( an + bn )
= ( a1 + a2 + " + an ) + ( b1 + b2 + " + bn )

= ∑ ak + ∑ bk
k =1 k =1

n

n

Prueba de la homogeneidad.

Se basa solamente de...
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