Series
Páginas: 47 (11705 palabras)
Publicado: 22 de agosto de 2010
1
Sucesiones sumables (Series) Mario Augusto Bunge Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires
El símbolo de sumatoria Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos a1 , a2 , a3 ,… , an y consideramos su suma a1 + a2 + a3 + ... + an En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma ∑ , llamado sumatoria, cuya utilizaciónpasamos a describir. Pondremos
∑a
k =1
n
k
= a1 + a2 + a3 + ... + an
En el especial caso en que sea n = 1 ,
∑a
k =1
1
k
= a1 .
El elemento ak se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general. El número k que figura debajo del símbolo ∑ se llama índice de sumación, y entendemos que los valores quetoma este índice son 1, 2, … , n Más generalmente, si p y q son dos números enteros, con p ≤ q , pondremos
∑a
k= p
q
k
= a p + a p +1 + " + aq
En este contexto, el número p se llama límite inferior de la suma , en tanto q es el límite superior de esa suma.
Ejemplos. a)
Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales: 12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , 7 2 , 82, 92 , 102
o sea, 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 Como es fácil ver, el término general es ak = k 2 , con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
∑k
k =1
10
2
. Así, se tiene la igualdad
∑k
k =1
10
2
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 ,
2
donde el lado izquierdo debe entenderse como una notación máscompacta del lado derecho. Si queremos considerar solamente 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 pondremos
∑k
k =3
10
2
= 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102
3
n
b)
La suma p + p + " + p , con la notación de sumatoria, se escribe #$ %$$ $ &
n sumandos
∑ p , lo cual
k =1
no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala se debe a que no figuraalgo así como ak , cosa que se subsanaría formalmente definiendo a1 = a2 = " = an = p . Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil. Con esta notación,
∑1 = 5 , ya que estamos sumando el número 1 a medida que avanza
k =3
7
el índice de sumación: k = 3, 4,5, 6, 7 habiendo entonces (7 − 3) + 1 sumandos. Por lo
mismo, el lector entenderá las igualdades
c)
∑1 = n
k=1
n
y
∑1 = n + 1 .
k =0
n
Fijemos un número real r , y consideremos sus primeras potencias
r 0 , r1 , r 2 , r 3 , r 4 , … , r n Utilizando la notación estándar para su suma, se tiene r 0 + r1 + r 2 + r 3 + " + r n . Con la notación compacta, y teniendo presente que el término general es r k , ponemos
∑r
k =0
n
k
.
Así
∑r
k =0
n
k
= r 0 + r1 + r 2 +r 3 + " + r n
Como r 0 = 1 y r1 = r , será más natural poner 1+ r + r2 + r3 +" + rn Volveremos sobre esta suma.
Observación. Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto, seremos dueños, y no esclavos, delsímbolo de sumatoria.
4
Propiedades elementales de la sumatoria
Sean dos listas finitas de números, digamos a1 , a2 ,… , an y b1 , b2 ,… , bn . Entonces se cumplen las siguientes propiedades.
•
Aditividad (suma término a término)
∑(a
k =1
n
k
+ bk ) = ∑ ak + ∑ bk
k =1 k =1
n
n
•
Homogeneidad (sacar los escalares afuera)
∑ λ ak = λ ∑ ak
k =1 k =1
n
n
(λ es un número fijo)
Prueba de la aditividad.
Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma
∑(a
k =1
n
k
+ bk ) = ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + " + ( an + bn )
= ( a1 + a2 + " + an ) + ( b1 + b2 + " + bn )
= ∑ ak + ∑ bk
k =1 k =1
n
n
Prueba de la homogeneidad.
Se basa solamente de...
Sucesiones sumables (Series) Mario Augusto Bunge Ciclo Básico Común Universidad de Buenos Aires
El símbolo de sumatoria Supóngase dada una cantidad finita de números, digamos a1 , a2 , a3 ,… , an y consideramos su suma a1 + a2 + a3 + ... + an En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión, y esto se logra mediante el símbolo de suma ∑ , llamado sumatoria, cuya utilizaciónpasamos a describir. Pondremos
∑a
k =1
n
k
= a1 + a2 + a3 + ... + an
En el especial caso en que sea n = 1 ,
∑a
k =1
1
k
= a1 .
El elemento ak se llama término general de la suma y, en muchos casos prácticos, es preciso conocer el aspecto de este término general. El número k que figura debajo del símbolo ∑ se llama índice de sumación, y entendemos que los valores quetoma este índice son 1, 2, … , n Más generalmente, si p y q son dos números enteros, con p ≤ q , pondremos
∑a
k= p
q
k
= a p + a p +1 + " + aq
En este contexto, el número p se llama límite inferior de la suma , en tanto q es el límite superior de esa suma.
Ejemplos. a)
Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales: 12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , 7 2 , 82, 92 , 102
o sea, 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 Como es fácil ver, el término general es ak = k 2 , con lo que nuestra suma puede adquirir el aspecto más descansado
∑k
k =1
10
2
. Así, se tiene la igualdad
∑k
k =1
10
2
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 ,
2
donde el lado izquierdo debe entenderse como una notación máscompacta del lado derecho. Si queremos considerar solamente 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102 pondremos
∑k
k =3
10
2
= 32 + 42 + 52 + 62 + 7 2 + 82 + 92 + 102
3
n
b)
La suma p + p + " + p , con la notación de sumatoria, se escribe #$ %$$ $ &
n sumandos
∑ p , lo cual
k =1
no nos debiera sorprender durante demasiado tiempo. La apariencia anómala se debe a que no figuraalgo así como ak , cosa que se subsanaría formalmente definiendo a1 = a2 = " = an = p . Claramente esta precisión sería tediosa y absolutamente inútil. Con esta notación,
∑1 = 5 , ya que estamos sumando el número 1 a medida que avanza
k =3
7
el índice de sumación: k = 3, 4,5, 6, 7 habiendo entonces (7 − 3) + 1 sumandos. Por lo
mismo, el lector entenderá las igualdades
c)
∑1 = n
k=1
n
y
∑1 = n + 1 .
k =0
n
Fijemos un número real r , y consideremos sus primeras potencias
r 0 , r1 , r 2 , r 3 , r 4 , … , r n Utilizando la notación estándar para su suma, se tiene r 0 + r1 + r 2 + r 3 + " + r n . Con la notación compacta, y teniendo presente que el término general es r k , ponemos
∑r
k =0
n
k
.
Así
∑r
k =0
n
k
= r 0 + r1 + r 2 +r 3 + " + r n
Como r 0 = 1 y r1 = r , será más natural poner 1+ r + r2 + r3 +" + rn Volveremos sobre esta suma.
Observación. Una vez familiarizados con la notación sumatoria, debe resistirse a la tentación de abandonar definitivamente la notación tradicional. En ocasiones las manipulaciones son más claras cuando se hacen al estilo clásico. Por lo tanto, seremos dueños, y no esclavos, delsímbolo de sumatoria.
4
Propiedades elementales de la sumatoria
Sean dos listas finitas de números, digamos a1 , a2 ,… , an y b1 , b2 ,… , bn . Entonces se cumplen las siguientes propiedades.
•
Aditividad (suma término a término)
∑(a
k =1
n
k
+ bk ) = ∑ ak + ∑ bk
k =1 k =1
n
n
•
Homogeneidad (sacar los escalares afuera)
∑ λ ak = λ ∑ ak
k =1 k =1
n
n
(λ es un número fijo)
Prueba de la aditividad.
Surge de la definición de suma, más una aplicación reiterada de las conocidas propiedades asociativa y conmutativa de la suma
∑(a
k =1
n
k
+ bk ) = ( a1 + b1 ) + ( a2 + b2 ) + " + ( an + bn )
= ( a1 + a2 + " + an ) + ( b1 + b2 + " + bn )
= ∑ ak + ∑ bk
k =1 k =1
n
n
Prueba de la homogeneidad.
Se basa solamente de...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.