Sistema de ecuaciones lineales

Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas Departamento de Matemática 2 2 1. Sea la matriz Q  1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Primer parcial 0 1 1 1

Algebra Lineal y Geometría Analítica 2009 Ingeniera Claudia Villarreal Cantizana

a. Encontrar todas las combinaciones lineales de los vectores F 1 , F 2 , F 3 , F 4 (filas de la matriz Q). a 1 F 1  a 2 F 2  a 3 F 3  a 4 F 4  X; donde Xes un vector genérico del espacio vectorial al que pertencen las filas de Q, en este caso Ó 4 .  a1 2 2 0 0  a2 1 1 1 1  a3 0 0 1 1  a4 1 1 1 1 2a 1  a 2  a 4 2a 1  a 2  a 4 a 2  a 3 a 4 a 2  a 3 a 4 igualando componente a componente, obtenemos el sistema: 2a 1  a 2  a 4  x 2a 1  a 2  a 4  y a2  a3 a4 z  x y z t ,

; en el cuál a 1 , a 2 , a 3 , a 4 son las incognitas y x, y,z, t actáun

a2  a3 a4  t como parámetros los cuáles debemos estudiar para que este sistema tenga solución 2 1 0 1 x 2 1 0 1 x  2 1 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 ß 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 t 2y 1 y 1 z 1 t x z z 2x t 2y z0 2x  0 ß 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 2y z t 2x

Para que este sistema sea consistente debe cumplirse 4 inc  2 ecu  zt xy

 x, y, z. t  y, y, t, t

2 VL y, t S  Espf Q  LF 1 , F 2 , F 3 , F 4  y, y, t, t b. Probar que el conjunto hallado en a. es subespacio de Ó 4 Para probar que es un subespacio de Ó 4 es necesario verificar que se cumple: i. S  ii. u, v S  uv S iii. k Ó, v S  kv S

Demostración i. Si y  t  0  0, 0, 0, 0 S  S  (1) ii. u, v S  u  y 1 , y 1 , t 1 , t 1 , v  y 2 , y 2 , t 2 , t 2

 u  v  y 1  y 2 , y 1  y 2 , t 1  t 2 , t 1 t 2  y, y, t, t ; y  y 1  y 2 ; t  t 1  t 2 entonces u  v S; (2) iii. k Ó, v S  v  y 2 , y 2 , t 2 , t 2  kv  k y 2 , y 2 , t 2 , t 2  ky 2 , ky 2 , kt 2 , kt 2  y, y, t, t ; y  ky 2 ; t  kt 2 entonces kv S; (3) De (1); (2) y (3) S es subesapcio de Ó 4 c. Mostrar que las filas no nulas de la matriz Q escalonada (reducida por filas) son linealmente independientes Para demostrar estodebemos tener la matriz Q escalonada reducida por filas 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 son F 1  1 1 1 1 1 1 ß 0 0 0 0 0 0 2 1 2 2 1 2 ß 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Las filas no nulas

2 2 0 0 , F2  0 0 2 2 Para ver si son linealmente independientes es necesario plantear el sistema lineal homogéneo  a1F1  a2F2  a1 2 2 0 0  a2 0 0 2 2 0 0 0 0 y determinar que tipo de solución admite   2a1 2a 1 2a 2 2a 2 0 0 0 0 2a 1  0 2a 1  0 2a 2  0 2a 2  0 d. Determinar una base y la dimensión del espacio solución del sistema QX  Ó4) (X Ó 4 , El espacio solución del sistema es el conjunto de soluciones del mismo, esto es S  X Ó 4 QX  2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1  1 1 1 1 1 0 0 ß 0 0 0 0 0 0 4 inc  2 ecu 2 1 2 2 1 0 0 ß 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  a1  0 a2  0  F 1, F 2 es LI

1 0

2 0 x y

2x  2y  0 2z  2t  0

z t 2 VL y, t  x, y, z, t  y, y, t, t  y 1, 1, 0, 0  t 0, 0, 1, 1 Esta es la expresión de los vectores del espacio solución como combinación lineal de estos vectores que son linealmente independiente, por lo que constituyen una base para el espacio solución. BaseS  1, 1, 0, 0 , 0, 0, 1, 1 , DimS  2 2. Si las coordenadas del vectorw en la base   2, 1 , 2, 2 de Ó 2 son 1, 1 , encontrar las coordenadas de w en la base canónica. Interpretar gráficamente la base canónica, la base , el vector w, identificar claramente la escalas en cada sistema.

Sea

x y

las coordenadas del

punto en la base canónica y s t  1 1

las coordenadas del vector en la base  x y x y s 2 1  0 3 2 1  t 2 2 1 2 2

1 x y

3. Dadoel conjunto W  w 1 , w 2 , w 3 V (espacio vectorial cualquiera), un conjunto linealmente independiente. Determinar el valor del parámetro m para que el conjunto G  3w 1  w 3 , w 1  mw 2 , w 2  2w 3 sea: a. linealmente independiente; b. linealmente dependiente. Para investigar acerca de la independencia lineal de un conjunto de vectores es necesario plantear el sistema lineal homogéneo...