solido de revolucion

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
Calculo de volúmenes
Método del disco.
Si giramos una región del plano alrededorde un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = wR2π
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen deun disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: wR2π
))((121−=∞→−=ΣiiininxxcfVLimπ
Fórmula del volumen por discos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
()∫=badxxfV2)(π
si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
()∫=dcdyyfV2)(π
Antes de comenzar a esbozardiversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.
COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que
sea PERPENDICULARal eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma dedisco o arandela dependiendo el caso.
2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.
3. Establecer los límites de integración.
4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.
EJEMPLO 1: La región entre la curva xy=, y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen. 250≤≤x
SOLUCION: Ayudadospor la sugerencia anterior
1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida:
2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL:Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir: xr=.
3. LIMITES DE INTEGRACIÓN:Estos límites nos lo fueron
Región que rota alrededor del eje x
dados en el enunciado delejemplo: 250≤≤x.
4. FORMULACION DE LA INTEGRAL:Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:
∫=badxrV2π ∫=2502dx)x(π
∫=250dxxπ 02522⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=xπ 2625π=.
Por tanto el volumen del sólido es 2625π u3.
Ejercicio resuelto 2:
Hallar el volumen generado por el area bajo la curva generada por el segmento de recta 31xy+=, , 120≤≤x
que gira entorno al ejex.
Solución: primero realicemos las gráficas.
Planteamos la integral:
El área de cada sección tiene la forma 2)31()(xxA+=π,
Luego el volumen del sólido es
∫∫++=+=12021202)9321()31(dxxxdxxVππ
01227332==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=xxxxxπ = π124 Unidades cúbicas
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1-3 halla los volúmenes de los sólidos generados al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas quese dan alrededor del eje x
1. 29xy−=, . 0=y
2. xcosy=, 20/xπ≤≤, 0=x, 0=y.
3. xsecy=, , 0=y4/xπ−=, 4/xπ=.
En los ejercicios 4-6 halla el volumen del sólido generado al girar cada región
alrededor del eje y.
4. La región encerrada por el triángulo con vértices , y . ),(01),(12),(11
5. La región en el primer cuadrante acotada por arriba por la parábola , por abajo por el eje x y a la derechapor la recta . 2xy=2=x
6. La región acotada por arriba por la curva xy= y por abajo por la recta xy=.
7. El disco gira alrededor de la recta ayx≤+22bx=, con para generar un sólido en forma de dona llamado Toro. Halla su volumen. ab>
8. Halle el volumen del sólido generado al girar la región determinada por y la recta 22yyx−=0=x alrededor del eje x.
Halla los volúmenes de los sólidos generados...