Solidos platonicos

Sólidos Platónicos
Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Reciben estosnombres en honor del filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

Historia
Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde laantigüedad clásica, hay referencias a unas Bolas Neoliticas de piedra labrada] encontradas en escocia 1000 años antes de que Platon hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegaron a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, deicosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo». Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo. y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimientodel octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporaneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos. Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros: ■ ■ ■ ■ ■ Todas las caras de un sólido platónico sonpolígonos regulares iguales. En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas. Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud. Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales. Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

Simetría
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Los sólidos platónicos son fuertementesimétricos: Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas. Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior. Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planosprincipales), que los dividen en dos partes iguales. Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro: ■ ■ ■ Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro. Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro. Una esfera circunscrita, que pase por todos losvértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Conjugación
Artículo principal: Poliedro dual Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de lascaras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Esquema
El Teorema de poliedros de Euler fija que el...