Solución de la ecuación de onda con transformada de fourier y un algoritmo para maple.

Scientia et Technica Año XIII, No 37, Diciembre de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701

523

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDA CON TRANSFORMADA DE FOURIER Y UN ALGORITMO PARA MAPLE.
Solution of the wave equation with Fourier transformer and algorithm for Maple
RESUMEN En este artículo se considera el uso de la Transformada de Fourier para la solución de la Ecuación deOnda unidimensional in homogénea. De igual forma se utiliza el paquete matemático Maple. PALABRAS CLAVES: Algoritmo, Ecuación Diferencial, Homogénea, Maple, Onda, Transformada, Wronskiano. Fourier, LUÍS FERNANDO PLAZA GÁLVEZ Ingeniero Electricista, Especialista en Finanzas, Estudiante de Maestría en Enseñanza de las Matemáticas con énfasis en la línea de Ecuaciones Diferenciales en la UniversidadTecnológica de Pereira. Docente Tiempo Completo en la Unidad Central del Valle del Cauca, UCEVA lufepla@gmail.com

ABSTRACT In this article it is placed to consideration the use of the Fourier Transformed like method of solution of the Wave Equation in one dimension inhomogeneous. In the same way it uses the mathematical package Maple. KEYWORDS: Algorithm, Differential Equation, Fourier,Homogeneous, Maple, Wave, Transformed, Wronskiano.

1. INTRODUCCIÓN Este trabajo corresponde a estudios hechos como notas de clase y de divulgación del Curso de Ecuaciones Diferenciales Parciales, especialmente cuando se analizaba la solución a la Ecuación de Onda unidimensional y las diferentes aplicaciones que presenta la Transformada de Fourier con sus respectivas propiedades. Adicionalmente eldesarrollo de un algoritmo que permite al anterior resultado llevarlo al entorno matemático del software Maple. Es de anotar que una primera versión de este trabajo fue expuesto en [6]. [1] La Ecuación de Onda describe fenómenos ondulatorios tales como la propagación del sonido, vibración transversal de cuerdas flexibles y vibración longitudinal de una viga. Dichos fenómenos se pueden modelar conecuaciones diferenciales en derivadas parciales. 2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Sea la ecuación de onda:

F

( f ( t ) ) = # f ( t )e " i w t dt ,
-!

!

definida en R y toma valores complejos. Al resolver la integral anterior se obtiene una función que depende de w, es decir

F ( f ( t )) = F ( w)
Para que la transformada de Fourier de una señal f(t) exista, ésta debe satisfacer las siguientespropiedades denominadas condiciones de Dirichlet: 1. f(t) sea absolutamente integrable, esto es

"

! -!

f ( t ) dt < !

2. f(t) posea un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo. La transformada inversa de Fourier esta dada por

F

-1

{ F ( w) } =

U tt ! k 2U xx = f ( x) , (1) " ! < x < +! ; t > 0 ,
donde u(x, t) es la solución general de la ecuación de onda enuna dimensión y representa el desplazamiento de cualquier punto x en el instante t. 3. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Para la solución del problema (1) utilizaremos La transformada de Fourier F [2] [5], dada de la siguiente manera
Fecha de Recepción: 03 Septiembre de 2007 Fecha de Aceptación: 07 Noviembre de 2007

Resolvamos la ecuación de onda (1), teniendo en cuenta las condiciones iniciales.

1 2#!

"

-"

F ( w)e i w t dw

u ( x,0) = g ( x) ; u t ( x,0) = h( x)

(2)

Conociendo el desplazamiento g(x) y la velocidad inicial h(x) de la cuerda. Teniendo en cuenta que las funciones f(x), g(x) y h(x), cumplen con las condiciones de Dirichlet para la existencia de la Transformada de Fourier,

F ( u ( x, t )) = U ( w, t ) ,

524

Scientia et Technica Año XIII, No 37,Diciembre de 2007. Universidad Tecnológica de Pereira.

F ( f ( x )) = F ( w) , F ( g ( x )) = G ( w) , F ( h ( x )) = H ( w) .
Por propiedades de la Transformada de Fourier con respecto a x y tomando a t fija, se tiene ;

Z1' =

!V2 F ( w) V F ( w) ' y Z2 = 1 , por lo que W W

U p = Z 1V1 + Z 2V2 .
Donde W es el Wronskiano, y puede ser calculado como

F ( u ( x, 0 )) = F ( g ( x)) , U (...