Srita

´ TEMA 6 F. MATEMATICOS.

TEMA 6 Introducci´n a las ecuaciones diferenciales. Ecuaciones lineales. o 1. Introducci´n a las ecuaciones diferenciales. o

El objeto de este tema es hacer una breve introducci´n al estudio de ecuaciones diferenciales, que o constituye una de las ramas m´s importantes para el C´lculo, por sus innumerables aplicaciones en todas a a las ciencias. Definici´n 1 Se llamaecuaci´n diferencial a aquella ecuaci´n que contiene derivadas. o o o Si la ecuaci´n s´lo tiene una sola variable independiente recibe el nombre de ecuaciones diferenciales o o ordinarias(EDO). Si la ecuaci´n contiene m´s de una variable independiente, apareciendo as´ sus derivadas o a ı parciales, recibe el nombre de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Definici´n 2 Se llama orden deuna ecuaci´n diferencial al orden de la mayor derivada que aparezca o o en ella. Definici´n 3 Se llama grado de una ecuaci´n diferencial al grado de la derivada de mayor orden que o o aparezca en ella. dy = 3x + x2 + 1 EDO de primer orden y de primer grado. dx

Ejemplo.

y − y 2 + 5 = 0 EDO de segundo orden y primer grado. y 3(y )3 + 2y = 0 EDO de segundo orden y tercer grado. Definici´n 4 Sellama soluci´n general de una ecuaci´n diferencial a toda relaci´n entre las variables, o o o o libres de derivadas, que satisface dicha ecuaci´n diferencial. o Por lo com´n, la soluci´n general de una ecuaci´n diferencial de orden n tiene n constantes. Integrar u o o o resolver una ecuaci´n diferencial es hallar su soluci´n general. o o o o o Definici´n 5 Se llama soluci´n particular de una ecuaci´ndiferencial a aquella soluci´n que se obtiene o a partir de la soluci´n general, dando valores a las constantes. o Dada la ecuaci´n diferencial y = f (x, y), se dice que est´ escrita en forma est´ndar y, puesto que o a a y = dy se puede expresar tambi´n de la forma e dx M (x, y) dx +N (x, y) dy = 0 llamada forma diferencial de la ecuaci´n diferencial. o

´ I.T.I. MECANICA Curso 2006/07

1´ FUNDAMENTOS MATEMATICOS

´ TEMA 6 F. MATEMATICOS.

2.

Ecuaci´n diferencial de una familia de curvas. Teorema de o existencia y unicidad.

Como hemos visto dada una ecuaci´n diferencial, y = f (x, y), su soluci´n general depende de una o o sola constante. El problema inverso es dada una familia de curvas dependiendo de un par´metro obtener a la ecuaci´n diferencial cuya soluci´n sea lafamilia de curvas dada. o o Si la familia de curvas es f (x, y, C) = 0, derivamos impl´ ıcitamente respecto de la variable x y obtenemos la relaci´n o g(x, y, ∂y , C) = 0, ∂x

de ambas ecuaciones debemos de eliminar el par´metro C. a Dada una familia de curvas f (x, y, C) = 0, se desea encontrar otra familia F (x, y, C) = 0, tal que para cada curva de la primera familia, que pasa por el punto (x0, y0 ) exista otra curva de la segunda familia que pase tambi´n por ese punto y sea ortogonal a ella (sus tangentes han de ser perpendiculares en (x0 , y0 )). e 1 Es decir, si µ(x, y, y ) = 0 es una ecuaci´n diferencial de f (x, y, C) = 0 entonces φ(x, y, − y ) = 0 lo es de o F (x, y, C) = 0. A la familia de curvas F (x, y, C) = 0 se le llama trayectorias ortogonales. Ejemplo: Hallar lastrayectorias ortogonales de la familia de curvas xy = C. Se halla la ecuaci´n diferencial de la familia: o y dx +x dy = 0 ⇒ y = − . Por tanto, la ecuaci´n diferencial de la familia de curvas de las trayectorias ortogonales viene dada o por − 1 y x =− ⇒y = y x y y x

Siendo la soluci´n de dicha ecuaci´n diferencial la familia de curvas o o x2 − y 2 = K Teorema 1 (Teorema de existencia y unicidad) ∂f sonfunciones continuas en un entorno de (x0 , y0 ) entonces la ecuaci´n diferencial o ∂y y = f (x, y) tiene una unica soluci´n, y = φ(x), que pasa por el punto (x0 , y0 ). ´ o Si f (x, y) y A la condici´n por la que la funci´n debe tomar el valor y0 para x = x0 , se le llama condici´n inicial. o o o Se van a ver una serie de m´todos de integraci´n de ecuaciones diferenciales ordinarias. e o

´...