Sucesion y series

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FACULTAD DE METALURGIA
UADEC

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SUCESIONES
Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).Ejemplo:
an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2,
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4,…
Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural
an = an).
Ejemplo:
an = 1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4,...
Límite finito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = 1/n.
a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 =0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1
A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.
Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresasimbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.
Límite infinito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = n2.
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000
Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito.
Convergencia y divergencia
Cuando una sucesióntiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.
La sucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.
Sucesiones equivalentes
Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando ellímite de su cociente es 1.
Sucesión acotada
M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

SRERIES
Dada una sucesión an es posible formar una nueva sucesión Sn del siguiente modo:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
...Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an
La sucesión Sn se llama serie y se denota por
Σn=1 an o simplemente Σ an
Los elementos a1, a2, a3,..., an,... de la sucesión original son los términos de la serie y S1, S2, S3,..., Sn,... se denominan las sumas parciales de la serie.
Una serie es una sucesión de sumas parciales.
Clasificación de una serie
• Si la sucesión Sn tiene límite finito S, laserie es convergente (converge a S). A S se le llama suma de la serie.
• Si lim Sn = +∞ o -∞ se dice que la serie es divergente.
• Si Sn no tiene límite, se dice que la serie es oscilante.
Nota: Sn es la sucesión de sumas parciales, no la sucesión an.
Propiedades de las series
Propiedad asociativa
En toda serie se pueden sustituir varios términos por su suma efectuada, sin que varíeel caracter ni la suma de la serie.
Nota:
a. La propiedad asociativa no es válida en series oscilantes.
b. La propiedad disociativa no es válida para series convergentes o divergentes.
Propiedad distributiva
H) Σ an converge y su suma es S
T) Σ kan converge y su suma es kS
Propiedad aditiva
H) Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente.
T) Laserie Σ an+bn es convergente y su suma es S + T.
Propiedad de linealidad
H) Sean Sn = Σ an y Tn = Σ bn dos series convergentes con sumas S y T respectivamente, y sean h y k dos constantes.
T) La serie Σ kan+hbn es convergente y su suma es kS + hT.
Serie geométrica
Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante).
Si...