Sucesiones monotonas

6.3 Sucesiones Monótonas y Acotadas.
Vamos a dar unos cuantos nombres y sucesiones que verifican ciertas condiciones. Sea { an } una sucesión de números reales.

Estrictamente creciente, crecienteSe dice que { an } es:Estrictamente creciente si a1 < a2 < … < ak-1 < ak < …Creciente Si a1 ≤ a2 ≤ … ≤ ak-1 ≤ ak ≤ … |

Estrictamente decreciente, decrecienteSe dice que {an } es:Estrictamente decreciente si a1 > a2 > …> ak-1 > ak > …Decreciente Si a1 ≥ a2 ≥ … ≥ ak-1 ≥ ak ≥ … |

Monótona , estrictamente MonótonaSe dice que { an } es:Monótona si es creciente o decreciente.Estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. |

Acotada superior o inferiormente. Se dice que { an } es:Acotada superiormente por Msi an ≤ M para todo n.Acotada inferiormente por m si an ≥ m para toda n. |

AcotadaSe dice que { an } es:Acotada Si es acotada superior o inferiormente. |
Es difícil, l en general, averiguar si una sucesión tiene limite o no. Gracias al teorema siguiente, es fácil obtener respuesta en el caso de las sucesiones monótonas.

El teorema de las sucesiones monótonas acotadas.Una sucesión monótonatiene como limite si y solo si es acotada. Si no lo es, tiende a ╧ ∞ |

Demostración: Vamos a dar un razonamiento informal; la formalización se propone como ejercicio. Supondremos que la sucesión es creciente, en la inteligencia de que los razonamientos en los otros casos son análogos. Como a1 ≤ a2 ≤ … la sucesión esta acotada inferiormente por a1 y la gráfica de los puntos (n, an ) escreciente. Pueden ocurrir dos casos, uno de ellos es que la sucesión { an } este acotada superiormente por un numero M. entonces an ≤ M para todo n. la grafica de los puntos (n, an ) debe crecer sin cesar (porque la sucesión es monótona) y debe permanecer bajo la recta y =M. la única manera de que esto ocurra es que la grafica se aproximea una “recta barrera” y = L con L ≤ M, con lo queLimn→∞ an =L .
El otro caso es que la sucesión no este acotada superiormente. Entonces la grafica crece sin cesar y los términos de la sucesión { an } no pueden tender a ningún número L.

6.4 Definición de series.

Una manera de sumar una lista de números es formar subtotales asta agotar la li9sta. De manera análoga, para dar un sentido a la suma inf8inita.

S = a1 + a2 +a3 + a4 + …

Es naturalconsiderar las sumas parciales

a1, a1 + a2, a1 + a2 +a3, a1 + a2 +a3 + a4, …

Si es posible asignar un numero a la suma infinita, es de esperar que las sumas parciales Sn = a1 + a2 + … + an … tiendan a ese numero cuando n crece arbitrariamente.
Estas ideas nos llevan a la definición siguiente:

SeriesUna serie es una suma infinita∞a1 + a2 +a3 + … = ∑ ak k=1la suma parcial n-ésima de la serie es: nSn = a1 + a2 + … + an = ∑ ak K=1Se dice que la serie es convergente 8con suma S si la sucesión { Sn } de sumas parciales tiene limite S. si l sucesión { Sn } no convergente se dice que la serie diverge. |Lo que esto quiere decir: una serie convergente si y solo si lo hace su sucesión de sumas parciales. Si la serie converge, su suma es el límite de la sucesión de sumas parciales.

NOTA: ∞
Usaremos el símbolo ∑ an para designar a la serie a1 + a2 + …, independientemente de que
K=1
Converge o no. Si converge asucesión { Sn } de sumas parciales entonces:
∞ n
∑ ak = lim (∑ ak )
K=1 n→∞ k=1

∞
Aquí se usa el símbolo ∑ an para representar a la serie que no comienzan en 1.
K=1
Por ejemplo: (1/3) + (1/4) + (1/5) + … se pude designar por

k=3∞1k o por...