Sucesiones numericas

Ejercicios de Análisis Matemático

Sucesiones numéricas

1. Dado " > 0, calcula m" 2 N tal que para todo n > m" se verifique jxn — xj < " donde xn , x
vienen dados en cada caso por:

2n C 3 2

p3 p3
a/ xn D 3n 50 ; x
3 I b/ xn D
n C 1 —
n
n ; x D 0

c/ xn D
pn a .a > 0/; x D 1I d / xn D p
2

; x D 0e/ xn D n p
n C 1 — pn n, ; x D 0I f / xn D n2 an .jaj < 1/; x D 0

Sugerencia. Como consecuencia del binomio de Newton, para x — 1 > 0 se verifica que

xn D.1 C.x —1//n > 1 Cn.x — 1/:

Esta desigualdad, convenientemente usada, permite resolver con facilidad los casos b), c), d) y e).
Solución. Como regla general, en estetipo de ejercicios hay que “trabajar hacia atrás”, esto es, se calcula y simplifica jxn — xj y se convierte la desigualdad jxn — xj < " en otra equivalente a ella de la forma n > '."/ donde '."/ es un número que depende de ". Basta entonces tomar m"
como la parte entera de '."/ más 1, m" D Eç'."/) C 1, con lo cual para todo n > m" se tiene
que n < '."/ y, por tanto, jxn — xj < ".Este procedimiento admite muchos atajos. Hay que tener en cuenta que no se pide calcular el m" “óptimo”, es decir, el menor valor posible de m" tal que n > m" ÷jxn — xj < ", sino que se pide calcular cualquier valor de m" para el cual sea cierta dicha implicación. Para ello es suficiente con obtener, a partir de la desigualdad jxn — xj < ", otra desigualdad del tipo n > '."/ de forma quese verifique la implicación n > '."/÷jxn — xj < ".
En este procedimiento hay que quitar valores absolutos. Esto siempre puede hacerse porque la desigualdad jxn — xj < " equivale a las dos desigualdades —" < x — n — x < ". Con frecuencia, el número xn — x es siempre positivo o siempre negativo para todo n > n0 , lo que permite quitar directamente el valor absoluto y sustituirlo por lacorrespondiente desigualdad.
Por supuesto, en estos ejercicios hay que trabajar con un valor genérico de " > 0, es decir, no está permitido considerar valores particulares de " porque se trata de probar que una cierta desigualdad es válida para todo " > 0.
La verdad es que se tarda más en escribir lo anterior que en hacer el ejercicio porque las sucesio- nes que se dan son muysencillas y la sugerencia muy útil.
a) Tenemos que
ˇ 2n C 3
2 ˇ ˇ
109 ˇ
jxn — xj D ˇ
— ˇ D ˇ ˇ :
ˇ 3n — 50
3 ˇ ˇ 9n — 150 ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ

El denominador es positivo para todo n > 17. Pongamos n D 17 C k donde k 2 N . Entonces

jxn — xj D 9n

109
— 150 D

109
[pic]
3 C 9k

109 13
< < :
9k k

Deducimosque para que se tenga jxn — xj < " es suficiente que tomar n D 17 C k donde k se elige de forma que 13 < ", es decir, k > 13 . Por tanto, poniendo m" D 18 C E. 13 / podemos
k " "
asegurar que para todo n > m" se verifica que jxn — xj < ".
Observa que las acotaciones 109
3C9k
109
9k
< 13 no son imprescindibles; de hecho, podemos
despejar k de ladesigualdad 109
3C9k
se obtiene un valor de k mayor).
< ", pero las acotaciones hechas facilitan este paso (aunque

b) Tenemos que:

0 < xn — 0 D p

n C 1 — p3

n D p3 n

r3 1 !
1 C n — 1 :

r3
Pongamos zn D
1
1 C n — 1. Tenemos que zn > 0 y, usando la sugerencia dada:

Deducimos que:

.1 C zn /3 D 1 C

1 1
n > 1 C 3zn ÷ zn 6 3nPor tanto:
xn D p3

1 1
1 1 n zn 6 p3
n2
1 1
6 3 p3 n :
3 p3 n < " ÷ xn < " ÷ jxn — 0j D xn < "
La desigualdad 1 1
< " se verifica para todo n > 1

. Por tanto, es suficiente tomar m" D 1 C
27"3 ).
3 p3 n
27"3
Observa que la acotación 1 1
6 1 1
no es imprescindible; de hecho, podemos despejar n
3 p3 n2
3 p3 n...