Superficies cuadraticas

Universidad Cat´lica del Maule
o
Facultad de Ciencias B´sicas
a

Trabajo de An´lisis No IV
a
Nombre: Cynthia San Mart´ Mora
ın
Tema: Superficies cuadr´ticas.
a
´
SUPERFICIES CUADRATICAS.La ecuaci´n de una superficie cuadr´tica es la gr´fica en el espacio de una ecuaci´n de
o
a
a
o
segundo grado en x,y,z. La forma m´s general de la ecuaci´n es
a
o

Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz+ F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0
donde A, B, C, etc, son constantes reales. Hay seis tipos de superficies cuadr´ticas, tales
a
como:
1. Elipsoide
2. Hiperboloide de una hoja
3. Hiperboloide de doshojas
4. Cono el´
ıptico
5. Paraboloide el´
ıptico
6. Paraboloide hiperbolico
A la intersecci´n de una superficie con un plano se le llama traza de la superficie en el plano,
o
mediante la cualla podemos vizualizar en el espacio determinando sus trazas en algunos
planos convenientemente, ´stas junto con la forma can´nica de la ecuaci´n de cada superficie
e
o
o
cuadr´tica, las veremos acontinuaci´n.
a
o
En el caso de que los tres coeficientes D, E y F sean nulos simultaneamente, el eje o los ejes
de la superficie son paralelos a los ejes coordenados. En estas circunstancias, lossignos de
los coeficientes A, B y C permiten hacer una pre-identificaci´n de la superficie. Si A, B y C
o
tienen el mismo signo, la ecuaci´ representa un Elipsoide.
ıon

1

Elipsoide
x2
a2

+y2
b2

+

z2
c2

=1

La intersecci´n de una suo
perficie con el plano xy,
plano xz y el plano yz
forman una traza llamada
Elipse.
Por ejemplo,
x2
a2

+

y2
b2

= 1 con z = 0La superficie es una esfera
si:
a=b=c=0
tipo X ¡intro¿

2

Hiperboloide de una
hoja
x2
a2

+

y2
b2

−

z2
c2

=1

Es sim´rico con respecto a
t
cada uno de los tresplanos
cooerdenados.
La intersecci´n de una superficie
o
con el plano xy, xz e yz
forman una traza llamada
elipse, hip´rbola y otra
e
hip´rbola respectivamente,
e
las cuales son:
x

= 0 : la...