Superposicion de ondas electromagneticas

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CAPITULO 2

SUPERPOSICION DE ONDAS
La presencia de una perturbación ondulatoria en una región del espacio no excluye que otras perturbaciones puedan propagarse en la misma región; en los casos en los que esto ocurre ¿Cuál será la perturbación resultante de la superposición de estas perturbaciones?. Desde el punto de vista matemático el hecho que la ecuación diferencial de la onda sealineal nos garantiza que la ecuación horaria de la perturbación resultante es simplemente la suma algebráica de las ecuaciones horarias de las perturbaciones que actúan simultáneamente. Lo anterior, como decíamos, es consecuencia de la linealidad de la ecuación diferencial de la onda y corresponde a uno de los posibles enunciados del principio de superposición. Desde el punto de vista físico estoquiere decir que si se superponen dos o más perturbaciones mecánicas, el desplazamiento de las partículas del medio de propagación es igual a la suma algebráica de los desplazamientos producidos por cada una de las perturbaciones; si las ondas que se superponen fueran electromagnéticas, el principio de superposición implicaría que los campos eléctrico y magnético de la perturbación resultantecorresponderían a las sumas vectoriales de los campos eléctricos y magnéticos de las ondas e.m. componentes. Independientemente de la naturaleza de las perturbaciones consideradas, si

f1 ( x , t ) , f 2 ( x , t ) , f 3 ( x , t ) ...., f n ( x , t ) son las ecuaciones horarias de n perturbaciones

que se propagan simultáneamente en una determinada región del espacio, la perturbación resultante de lasuperposición de estas perturbaciones estará dada entonces por una ecuación horaria

f ( x , t ) = f1 ( x , t ) + f 2 ( x , t )+ ....+ f n ( x , t ) = ∑ n f n ( x , t )

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2.1 SUPERPOSICIÓN DE DOS ONDAS ARMONICAS PROGRESIVAS DE LA MISMA FRECUENCIA
Como un primer caso de superposición de ondas consideremos dos ondas armónicas progresivas, que se propagan en el mismo medio, cuyasecuaciones horarias son:

y1 ( x , t ) = a1 sen ( kx − ω t + ϕ 1 )

y2 ( x , t ) = a 2 sen ( kx − ω t + ϕ 2 )
se trata entonces de dos perturbaciones de amplitudes a1 , a 2 , de igual frecuencia y con fases iniciales ϕ 1 , ϕ 2 . De acuerdo con el principio de superposición la perturbación resultante será una onda y( x , t ) dada por:

y( x , t ) = y1 ( x , t ) + y2 ( x , t )

(2.1)

Estaecuación es independiente de la naturaleza de la perturbación, por lo tanto y1 , y2 , y pueden considerarse desplazamientos de las partículas de una cuerda producidos por las dos ondas componentes y por la onda resultante o intensidades de campo eléctrico de las dos ondas e.m. componentes y de la perturbación eléctrica resultante o también desplazamientos longitudinales de las moléculas de aire porefecto de las dos ondas sonoras componentes y el desplazamiento longitudinal de la onda resultante. perturbaciones componentes: Aclarado esto, podemos explicitar la ecuación (2.1) teniendo en cuenta la forma de las ecuaciones horarias de las dos

y( x , t ) = a1 sen ( kx − ω t + ϕ 1 ) + a2 sen ( kx − ω t + ϕ 2 )
= a1 sen ( kx − ω t ) cos ϕ 1 + a1 cos ( kx − ω t ) sen ϕ 1 + a2 sen ( kx − ω t )cos ϕ 2 + a2 cos ( kx − ω t ) sen ϕ 2
de donde:

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y( x , t ) = sen ( kx − ω t ) (a1 cos ϕ 1 + a 2 cos ϕ 2 ) + cos ( kx − ω t ) (a1 sen ϕ 1 + a 2 sen ϕ 2 )
Pongamos ahora:

A cos θ = a1 cos ϕ 1 + a 2 cos ϕ 2 A sen θ = a1 sen ϕ 1 + a 2 sen ϕ 2
y obtenemos fácilmente:

(2.2) (2.3)

y( x , t ) = A sen ( kx − ω t + θ )

(2.4)

esta última ecuación nos demuestra que la ondaresultante de dos ondas armónicas progresivas de la misma frecuencia es una onda armónica progresiva de la misma frecuencia de las dos ondas componentes. Solamente nos queda ahora por determinar la amplitud cuadrado y sumamos se obtiene:
2 2 A2 sen 2 θ + A2 cos 2 θ = a1 sen 2 ϕ 1 + a2 sen 2 ϕ 2 + 2 2 2a1a 2 sen ϕ 1 sen ϕ 2 + a1 cos 2 ϕ 1 + a 2 cos 2 ϕ 2 + 2a1a 2 cos ϕ 1 cos ϕ 2

A y la fase...