Taller Algebra Lineal

ALGEBRA LINEAL - ITC TALLER

Profesor:____________________________________________________________ Espacio Académico: ALGEBRA LINEAL VECTORES

1.

Sean u = (2, -2, 3) , v = (1, -3, 4), w = (3, 6, -4). En cada inciso evaluar la expresión dada. a) d)

uv 3u  5v  w

b) e)

uv
1 w w

c)

 2u  2 u

2.

a) Comprobar que si v es cualquier vector diferente de cero, entonces1 v v

es diferente de cero.

b) Usar el resultado del inciso a) para encontrar un vector unitario que tenga la misma dirección dirección que el vector v =(3,4). c) Usar el resultado del inciso a) para encontrar un vector unitario cuya dirección sea opuesta a la del vector v =(-2,3,-6). 3. Encontrar la proyección ortogonal de u sobre a. a) u = (6,2), a = (3,-9) b) u = (-6,0,4), a = (3,1,6) c)u = (1,0,0), a = (4,3,8) Sean Sean u = (3,4) , v = (5,-1), w = (7,1). Evaluar las expresiones a) u.(7v+w) b) c)

4.

u.v w u v.w

5. Comprobar que A(3,0,2), B(4,3,0) y C(8, 1,-1) son los vértices de un triángulo rectángulo. ¿En qué vértice está el ángulo recto? 6. Explicar por qué cada una de las siguientes expresiones carece de sentido. a. b. c. d. 7. u . ( v. W) (u . V) + W

u.v
k. ( u. V)

Sean u = (3, 2, -1) , v = (0, 2, -3), w = (2, 6, 7).Calcular a) vx W e) u x ( v –2w) b) u x ( v x W) c) ( u x v) x W f) ( u x v ) –2w d) ( u x v) x (v x W)

8.

Encontrar el área del paralelogramo determinado por u y v a. b. c. u = (1,-1,2), v = ( 0,3,1) u = (3,-1,4), v = ( 6,-2,8) u = (2,3,0), v = ( -1,2,-2)

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9. Encontrar el área del triángulo cuyos vértices son, P,Q y R.a. b. a. b. P(2,6,-1), Q(1,1,1), y R(4,6,2) P(1,-1,2), Q(0,3,4), y R(6,1,8) u = (2,-6,2), v = ( 0,4,-2), w = (2,2,-4) u = (3,1,2), v = ( 4,5,1), w = (1,2,4)

10. Encontrar el volumen del paralelipípedo cuyos lados son u,v y w.

11. Calcular el triple producto escalar u . (v x w) a. b. u = (-1,2,4), v = ( 3,4,-2), w = (-1,2,5) u = (3,-1,6), v = ( 2,4,3), w = (5,-1,2) MATRICES Definiciones:  Unamatriz es ordenamiento rectangular de números, ya sean reales o complejos.  El tamaño de una matriz se denota como “mxn”, donde m representa el numero de filas y n el numero de columnas.  Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas y el mismo numero de columnas.  Una matriz de 1xn se llama matriz renglón o matriz fila.  Una matriz de mx1 se llama matriz columna.  Unamatriz cuya totalidad de elementos es cero se llama matriz cero.  En una matriz cuadrada cuyos elementos son

a ij

; su diagonal principal estará formada por

aii , la matriz

     

es triangular superior si todos sus elementos debajo de la diagonal principal son ceros. es triangular inferior si todos sus elementos arriba de la diagonal principal son ceros. es diagonal si todossus elementos debajo y arriba de la diagonal principal son ceros. es escalar si es diagonal y todos los elementos son iguales. Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales. La suma A+B, esta definida para matrices del mismo tamaño y se obtiene de sumar los elementos correspondientes de ambas matrices. La resta A-B, esta definida para matrices delmismo tamaño y se obtiene de restar los elementos correspondientes de A con los de B de ambas matrices. El producto por escalar, es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por el escalar. La multiplicación entre matrices solo es posible si el numero de columnas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda y se obtiene al multiplicar cada elemento de la fila porsu respectivo de la columna y sumarlos. Matriz Transpuesta, es aquella que se cambian los elementos de la fila, por la columna.

EJEMPLO 1:

1 2  A  0  0  
EJEMPLO 2:

0 1 3 0

 0  0  Matriz Diagonal;  1 4 

2 4 1 3 A 6  7  4 2
EJEMPLO 3:

5  3 5 2  . Matriz Cuadrada de 4x4 1 3  1  1

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1 0 0    A  1 0 0  1 2    
EJEMPLO 4:

Matriz...