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SOLUCIONES

EJERCICIOS PROBABILIDAD

Ejercicio nº 1.-

En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene.

a) Describe los sucesos:

A ’ "Obtener par" B ’ "Obtener impar"
C ’ "Obtener primo" D ’ "Obtener impar menor que 9"

escribiendo todos sus elementos.

b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Yentre C y D?

c) ¿Cuál es el suceso A ∪ B? ¿y C ∩ D?

Solución:

a) A ’ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
B ’ {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
C ’ {2, 3, 5, 7, 11, 13}
D ’ {3, 5, 7}

b) B ’ A'; D ⊂ C

c) A ∪ B ’ E (Espacio muestral); C ∩ D ’ D

Ejercicio nº 2.-
Sean A y B los sucesos tales que:

P[A] ’ 0,4 P[A' ∩ B] ’ 0,4P[A ∩ B] ’ 0,1

Calcula P[A ∪ B] y P[B].

Solución:

• Calculamos en primer lugar P[B]:

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P[B] ’ P[A' ∩ B] + P[A ∩ B] ’0,4 + 0,1 ’ 0,5

• P[A ∪ B] ’ P[A] + P[B] − P[A ∩ B] ’ 0,4 + 0,5 − 0,1 ’ 0,8

Ejercicio nº 3.-

Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:

P[A'] ’ 0,6 P[B] ’ 0,3 P[A' ∪ B'] ’ 0,9

a) ¿Sonindependientes A y B?

b) Calcula P[A' / B].

Solución:

a) P[A' ∪ B'] ’ P[(A ∩ B )'] ’1 − P[A ∩ B] ’ 0,9 → P[A ∩ B] ’ 0,1

P[A'] ’ 1 − P[A] ’ 0,6 → P[A] ’ 0,4

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Por tanto, A y B no son independientes.

b) Como:

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necesitamos calcular P[A' ∩ B]:

[pic]

P[A' ∩ B] ’ P[B] − P[A ∩ B] ’ 0,3 − 0,1 ’0,2

Por tanto:

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Ejercicio nº 4.-

Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?

Solución:

Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el segundo elija el mismo número?[pic]

Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será:

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Ejercicio nº 5.-

En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es laprobabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?

Solución:

Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:

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Llamamos I ’ "Habla ingles", F ’ "Habla francés".

a) Tenemos que hallar P[I ∪ F]:

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Ejercicio nº 6.-

Una urna, A,contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
b) Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

Solución:

Hacemosun diagrama en árbol:

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Ejercicio nº 7.-

De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) Describe los sucesos:

A ’ "Mayor que 6" B ’ "No obtener 6" C ’ "Menor que 6"

escribiendo todos sus elementos.

c) Halla los sucesos A ∪ B , A ∩ B y B' ∩A'.

Solución:

a) E ’ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

b) A ’ { 7, 8, 9 } B ’ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

C ’ { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

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Ejercicio nº 8.-

Sabiendo que:

P[A ∩ B] ’ 0,2 P[B'] ’ 0,7 P[A ∩ B'] ’ 0,5

Calcula P[A ∪ B] y P[A].

Solución:

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P[A] ’ P[A ∩ B'] + P[A ∩ B] ’ 0,5 + 0,2 ’ 0,7...