Tautologia

Tablas de verdad

En un sistema de lógica proposicional, una interpretación no es más que una función que asigna un único valor de verdad a todas las fórmulas atómicas bajo consideración.Diferentes interpretaciones, por lo tanto, difieren sólo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una tautología es una fórmula bien formada que bajo cualquier interpretación de sus componentesatómicos, tiene valor de verdad 1 (verdadero). Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de las fórmulas atómicas,y calcular el valor de verdad del todo. Esto se logra mediante una tabla de verdad. Por ejemplo, considérese la fórmula p ∧ q. Como a cada fórmula atómica (en este caso, p y q) puede asignársele unode dos posibles valores de verdad, hay en total 22 = 4 posibles combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles: o ambas son verdaderas; o p es verdadera y q falsa; o pes falsa y q verdadera; o ambas son falsas. Esto puede presentarse mediante una simple tabla:

\begin{array}{|c|c|} p & q \ \hline 1 & 1 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0 \ \hline \end{array}

Para cadauna de estas interpretaciones, puede calcularse el valor de verdad de la fórmula p ∧ q. Los resultados pueden presentarse nuevamente mediante una tabla:

\begin{array}{|c|c||c|} p & q & p \and q\ \hline 1 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \hline \end{array}

Esta es la tabla de verdad de la fórmula p ∧ q. Como se ve, esta fórmula sólo es verdadera bajo una interpretación:aquella en la que ambas fórmulas atómicas son verdaderas. Una tautología es una fórmula cuyo valor de verdad es 1 para todas las interpretaciones posibles de las fórmulas atómicas. Por lo tanto, p ∧ q noes una tautología. En cambio, la siguiente tabla de verdad muestra una fórmula que sí lo es:

\begin{array}{|c|c||c|c|} p & q & (p \and q) & (p \and q) \to p \ \hline 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 0 &...