Taylor

Polinomios de Taylor
Prof. Jorge Brisset
Instituto de Profesores “Artigas” - Matem´tica II
a
2006

´
Indice
1. Introducci´n
o

2

2. Polinomios o f´rmula de Taylor
o

3

3. Propiedades de los polinomios de Taylor

5

4. Aplicaciones
4.1. C´lculo de l´
a
ımites . . . . . . . . .
4.2. Aproximaciones con acotaci´n del
o
4.3. Estudio de extremos relativos. . .
4.4.Clasificaci´n de series num´ricas
o
e

1

....
error
....
....

.
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7
8
9
11

1.

Introducci´n
o

Acabamos de estudiar las series de potencias. En ese tema, demostramos que
toda serie depotencias, es decir, toda serie de la forma
an xn tiene asociado
un radio de convergencia R que pod´ ser 0 , positivo , o +∞ .
ıa
Luego, a cada serie de potencias le asociamos una funci´n con dominio (al
o
menos) (−R,R) de la siguiente manera: f : (−R, R) → R tal que f (x) =

+∞
n=0

an xn .

Dicha funci´n f goza de la propiedad de derivabilidad (obviamente de cono
tinuidad eintegrabilidad), obteniendo expresiones para su funci´n derivada y
o
para la primitiva que verifica F (0) = 0 , de la siguiente manera:
f (x) =

+∞
n=1

an nxn−1

y

F (x) =

+∞
n=0

an xn+1
n+1

.

Estos resultados nos permitieron encontrar, a partir de funciones dadas por
una serie de potencias, otros nuevos.
Por ejemplo, conociendo que f (x) =
f (x) =

1
(1−x)2

=

+∞

11−x

=

+∞

xn pudimos obtener que

n=0

nxn−1 y que tambi´n F (x) = −L (1 − x) =
e

n=1

+∞
n=0

xn+1
n+1

.

Desde otro punto de vista, podr´
ıamos decir que empezamos a obtener la
expresi´n en series de potencia de otras funciones. Pero, ¿qu´ vinculaci´n existe
o
e
o
entre la serie y la funci´n? Como respuesta a esta pregunta obtuvimos que
o
(n)
s´ existe unavinculaci´n y que est´ dado por an = f n!(0) en el caso de la serie
ı
o
a
(n)

“centrada” en el origen y por supuesto que an = f n!(a) en el caso de series de
n
la forma
an (x − a) .
De esta manera, toda fuci´n de clase C ∞ en cierto intervalo (a − R, a + R)
o
obtiene un´
ıvocamente una serie de potencias asociada a ella cuya expresi´n es:
o
+∞
n=0

f (n) (a)
n! (x

− a)n .Obrando con este criterio obtuvimos la expresi´n en serie
o

de potencias de la funci´n f : f (x) = sen x .
o
3

5

La serie obtenida fue la siguient˙ : x − x + x · · · · · · =
e
3!
5!

+∞
n=0

(−1)n x2n+1
(2n+1)! .

Lo que

no sabemos es si la funci´n obtenida (dada por la serie de potencias) resulta
o
ser igual a f (x) = sen x para todo x ∈ R . Esta pregunta ser´ respondida,a
luego de algunos resultados, en forma afirmativa. Pero no es ese nuestro unico
´
objetivo. Si tomamos una suma parcial de la serie de potencias en cuesti´n,
o
1
¿son “parecidas” las funciones a sus polinomios asociados? ¿Y si la funci´n
o
solo poseyera derivadas en x = a de orden 23, resultar´ util “aproximar” a tal
a´
funci´n con
o

23
n=0

f (n) (a)
n! (x

− a)n ?Intentaremos dar respuesta a estas interrogantes a continuaci´n.
o

1 N´tese
o

que al ser suma parcial de una serie de potencias, lo que tenemos es un polinomio.

2

2.

Polinomios o f´rmula de Taylor
o

Definici´n 1
o

Sea una funci´n f : I → R
o

(I un intervalo) tal que f admite
◦

derivadas de orden n en cierto entorno E (a), con a ∈ I . Llamaremos polinomio
de Taylor (BrookTaylor (1685-1731) ) de orden n generado por f en x = a al
siguiente polinomio:
(n)
(
(
pn (x) = f (a) + f 1!a) (x − a) + f 2!a) (x − a)2 + · · · + f n!(a) (x − a)n
Observaci´n 2 Al ser tomado de esta forma tenemos garantizado que los vao
lores de las derivadas iteradas de f en x = a coinciden con las del polinomio
¿por qu´?
e
Notaci´n 3 Escribiremos a pn (x) de la siguiente manera:...