tecnicas de conteo

Técnicas de conteo

1) ¿De cuantas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4sitios disponibles? Solucion
Notese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar mas de un sitio a la vez. Por lo tanto, hay V10,4 = 10!/6! = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040maneras.

2) En una clase de 10 alumnos van adistribuirse 3 premios. Averiguar de
Cuantos modos puede hacerse si:
1. los premios son diferentes;
2. los premios son iguales.
Solucion:
Hay dos supuestos posibles:
si una misma persona no puede recibir más de un premio:“libroult” 2001/8/30
1. hay V10,3 = 10 · 9 · 8 = 720 maneras de distribuir los premios si
´estos son diferentes;
2. en el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirsede C10,3 = 10 · 9 · 8/6 = 120 maneras.
si una misma persona puede recibir m´as de un premio:
1. se pueden distribuir los premios, si ´estos son diferentes, de V R10,3
=103 = 1000 maneras;
2. hay CR10,3 = 220 maneras de distribuir los premios si estos son iguales.

3] Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que lasmujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuantas maneraspuede hacerse?
Solucion
Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los 5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de P4 · P5 = 4! · 5! = 2880 maneras.

4] ¿Cuantos numeros de 4 dıgitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9
1. permitiendo repeticiones;
2. sin repeticiones;
3. Si el ´ultimodıgito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?
Solucion
Asumamos que para que un numero sea de 4 dıgitos su primer dıgito debe ser distinto de cero.
1. Puesto que debe formarse un numero de 4 dıgitos, el primero de estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para el primer dıgito y diez para cada uno de los tres dıgitos restantes,
obteniéndose un total de 9 · 103 = 9000números posibles.
2. Al igual que en el apartado anterior, el primer d´ıgito no puede sercero. Como adem´as no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidades para el segundo d´ıgito: el cero y las ocho no escogidas para elprimer d´ıgito. Por tanto, se pueden formar 92· 8 · 7 = 4536 n´umeros.
3. Fijamos el ´ultimo d´ıgito y, como no puede haber repeticiones, se
obtiene un total de 9 · 8 · 7 · 1 =504 n´umeros.

5] En un grupo de 10 amigos, ¿cu´antas distribuciones de sus fechas de cumplea˜nos pueden darse al a˜no?
Soluci´on
Considerando que el a˜no tiene 365 d´ıas y que puede darse el caso de que varias personas cumplan en la misma fecha, el n´umero de maneras distintas es V R365,10 = 36510


.6] ¿Cuantas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podr´ıa tener el alfabeto Morse?Soluci´on
Si se consideran como cinco s´ımbolos diferentes entonces, dado que importa el orden en que se coloquen y que han de distribuirse en cinco posiciones, se tendr´a un total de P5 = 5! posibles ordenaciones. Pero, dado que de los cinco elementos tan s´olo hay dos diferentes (rayas y puntos) que se repiten 3 y 2 veces, respectivamente, dividiremos por las posibles permutaciones de cada unode ellos, obteniendo as´ı un total de
C5,3 = 5!/ (3! · 2!) = 5 · 4/2 = 10 letras. N´otese que ´este es el n´umero de posiciones (entre las cinco posibles) en que pueden ponerse las letras, y adem´as coincide con el n´umero de posiciones para los puntos (C5,2).

7] Cuando se arrojan simultaneamente 4 monedas,
1. ¿cu´ales son los resultados posibles que se pueden obtener?
2. ¿cu´antos casos hayen que salgan 2 caras y 2 cruces?
Soluci´on
Suponiendo que las monedas son iguales:
1. Dado que un mismo resultado individual (cara o cruz) puede obtenerse en varias monedas a la vez, y que las monedas no pueden distinguirse entre s´ı, existen CR2,4 = 5 resultados posibles.
Estos casos son: “4 caras y 0 cruces”, “3 caras y 1 cruz”,
“2 caras y 2 cruces”, “1 cara y 3 cruces”, y “0 caras y 4...