tecnico

ALGEBRA LINEAL ´
Apuntes elaborados por
Juan Gonz´alez-Meneses L´opez.
Curso 2008/2009
Departamento de Algebra. ´
Universidad de Sevilla.´Indice general
Tema 1. Matrices. Determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales. . . 1
1.1. Matrices: definici´on, operaciones y propiedades b´asicas. . . . . . . 1
1.2. Transformaciones elementales de filas: matrices escalonadas y reducidas. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Dependencia lineal y rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Matrices elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Matrices invertibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Transformaciones elementales de columnas. . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.Determinantes: definici´on y propiedades. Teorema de Cauchy-Binet. 23
1.8. Desarrollo por filas y columnas. Adjunta e inversa. . . . . . . . . . 30
1.9. C´alculo de determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.10. Rango y menores. M´etodo del orlado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.11. Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.12. M´etodo deeliminaci´on de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.13. M´etodo de Gauss-Jordan. Teorema de Rouch´e-Frobenius. . . . . . . 45
1.14. Regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
iiiiv
Tema 2. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1. Estructuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.Dependencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3. Sistemas de generadores y bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4. Teorema de la base. Dimensi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5. Dimensi´on y sistemas de vectores. Coordenadas. . . . . . . . . . . . 61
2.6. Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Tema 3. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1. Definici´on y propiedades b´asicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2. Ecuaciones param´etricas e impl´ıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3. Ecuaciones y dimensi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4. Intersecci´on y suma de variedades. . . . . . . . . . . . . .. . . . . 74
3.5. Propiedades de la suma de variedades. F´ormula de la dimensi´on. . . 76
3.6. Descomposici´on de variedades. Espacio producto y cociente. . . . . 78
3.7. Propiedades de la suma directa. Espacio producto. . . . . . . . . . 81
3.8. Espacio cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Tema 4. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 87
4.1. Definici´on y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2. Imagen y n´ucleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3. Imagen e imagen inversa de variedades lineales. Aplicaciones inyectivas. 91
4.4. Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5. Aplicaciones lineales y matrices I. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 95v
4.6. Aplicaciones lineales y matrices II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.7. Primer teorema de isomorf´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.8. Cambio de base. Matrices equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.9. Endomorfismos. Matrices semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.10. El espacio vectorial Hom(V, V 0
). . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tema 5. Endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1. Autovalores y autovectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2. Multiplicidad algebraica y geom´etrica. Diagonalizaci´on. . . . . . . . 113
5.3. Forma can´onica de Jordan. Subespacios propios generalizados. . . . 116
5.4. C´alculo de la base de...