Tecnico

3. Resuelva las siguientes ED separables.

Separando variables:
->

Integrando

Resultado


Manipularemos algebraicamente y separaremos variables para tener unaexpresión fácil de integrar:





6. Este problema se resuelve mediante la Ley de enfriamiento de Newton, la cual suele expresarse de la siguiente manera:

Donde k es una constante cuyo valordependerá de las condiciones iniciales, Tm es la temperatura del medio en el que se encuentra inmerso el cuerpo que se enfría y la función temperatura “T” depende del tiempo, es decir es una funcióndel tiempo T(t).
Siendo así disponemos de los datos y condiciones iniciales siguientes:
; ;
Formulamos la ecuación diferencial que describe el problema:

Separamos variables:Integrando:


Donde A es la constante de integración. Luego aplicamos la función exponencial a ambos miembros con la finalidad de eliminar la función logaritmo:


Utilizando propiedades de lafunción exponencial, se sabe que , entonces:

Donde es una nueva constante que llamaremos B, por lo cual la ecuación despejada para la función temperatura “T”, nos queda de la siguiente forma:Ahora procedemos a evaluar las condiciones iniciales, sabemos que inicialmente, es decir en t=0, la temperatura es T=100°C. Tomando en cuenta esto y sustituyendo en la solución general obtenidaanteriormente:

Sabemos que toda cantidad elevada a la potencia cero es igual a la unidad, simplificando lo anterior:


Conociendo el valor de B podemos rescribir la función:

Evaluamos lasegunda condición, que nos indica que la temperatura es T=60°C cuando han pasado 20 minutos, es decir en t=20.



Una vez hemos calculado el valor de k, procedemos a rescribir la ecuación diferencialnuevamente, sustituyendo el valor obtenido:

Justo en este momento tenemos la solución particular de este problema, ahora solamente procedemos a calcular el tiempo en el cual la temperatura habrá...