Tecnico

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Una cantidad física que puede ser representada únicamente por un número se
denomina escalar (tiempo, masa, temperatura, densidad, carga eléctrica). Los
cálculos con escalares usan las propiedades aritméticas ordinarias.
Una cantidad vectorial tiene una magnitud y una dirección en el espacio, combinar
vectores requiere operaciones distintas a las ordinarias.Un ejemplo sencillo es el
movimiento de un avión: para describirlo plenamente, se debe indicar no sólo qué
tan rápido se mueve, sino también hacia donde.
Suma de vectores por método gráfico
Método del polígono
Dos vectores A y B se suman colocando la cola de B en la punta de A. El vector
sumatoria A + B se extiende desde la cola de A hasta la punta en B.
B

B

A

A
R=A+B

Estemétodo también puede usarse para sumar varios vectores.
B

B
D

A

C

A

C
D

R = A +B + C + D
Método del paralelogramo
B

B
A

A

R
B

A

En este método los dos vectores se dibujan desde un mismo punto de origen y se
completa el paralelogramo con líneas paralelas a los vectores dibujados. El vector
suma es la diagonal del paralelogramo.
Suma analítica de vectoresPara sumar analíticamente dos vectores (sin utilizar componentes rectangulares),
se puede usar:
-

Teorema de Pitágoras (en caso de que los vectores sean perpendiculares
entre sí).
Teoremas del seno y del coseno (para vectores no perpendiculares entre
sí).

Se recuerdan estos teoremas con el propósito de que se entiendan los ejemplos
posteriores.
Teorema de Pitágoras (para triángulosrectángulos)

h = hipotenusa

h2 = a2 + b2

a

b
Teorema del coseno

a

b

C
B

A
c

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

Teorema del seno

a

C
B

a
b
c
=
=
senA senB senC

b
A

c
Ejemplos
1. Una esquiadora viaja 1 km al norte y luego 2 km al este por un campo
nevado horizontal. a) A qué distancia y en quedirección está del punto de
partida? b) Qué magnitud y dirección tiene su desplazamiento resultante?
N

2 km
1 km

Desplazamiento resultante

O

E

S
a) Como los vectores forman un triángulo rectángulo, se puede emplear el
teorema de Pitágoras, para hallar la longitud de la hipotenusa.
d=

(1km) 2 + (2km) 2 = 2,24 km

El ángulo Φ se obtiene por medio de:
tan Φ =

2 km
catetoopuesto
=
= 63,4°
cateto adyacente 1 km

b) La magnitud del desplazamiento resultante es la distancia 2,24 km y la
dirección es de 63,4° al este del norte o 90°- 63,4° = 26,6 al norte del este.

2. Un topógrafo hace dos observaciones, como indica la figura, sobre el nivel
del altiplano. Si la distancia entre los dos puntos observados es 200 pies.
¿Cuál es la altura de la montaña?

29°38°

Este ejercicio no es una aplicación como tal de una suma vectorial, pero si es
un claro ejemplo de la aplicación del teorema del seno y por eso se ha decidido
incluir en esta sección.

52
9

d

29

142

38°

h=?

90

200
d
200 × sen29
=
⇒d=
⇒ d = 619,82 pies
sen9 sen29
sen9
Una vez calculada la distancia d, se puede calcular la distancia h.

sen38 =

h
⇒ h= sen38 × 619,82 = 381,40 pies
619,82

La altura de la montaña es de 381,40 pies
3) Una barca se encuentra estancada en el centro de un río de 5 m de ancho;
para poder salir de ese estancamiento el barquero le pide a dos hombres, que
se encuentran a lado y lado del río, que le ayuden a salir halando una cuerda
cada uno, como muestra las figura. Si el ángulo que forman las cuerdas es de60°, la fuerza la fuerza 1 es de 20 N y la 2 es de 30 N, ¿Cuál será la fuerza
resultante?

Hombre 1

θ

Hombre 2
Por el método del paralelogramo, utilizando el teorema del coseno y
recordando que la suma de los ángulos internos de un paralelogramo es 360°,
entonces:

F1

120°

θ
R
F2
R2 = (F1 )2 + (F2 )2 – 2 F1 F2 cos 120°
R2 = (20 N) 2 + (30 N) 2 – 2(20 N)(30 N)cos 120°...