Tema7

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA 7 (Ultima actualización 1/10/2003)

Formas Cuadráticas

1) Forma cuadrática en el Rn es toda expresión de la forma [pic] donde los coeficientes aij y las variables xi , xj toman valores reales y se verifica que aij = aji
Los coeficientes determinan una Matriz simétrica de orden n

M = [pic]

Recíprocamente cada Matrizcuadrada, simétrica de orden n está asociada a una forma cuadrática de orden n

2) Una forma cuadrática F se llama definida positiva , si F > 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

3) Una forma cuadrática F se llama definida negativa , si F < 0 para todo sistemas de valores no simultáneamente nulos de las xi , xj variables

4) Una forma cuadráticaF se llama semidefinida positiva , si F ( 0 es decir se conserva positiva, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

5) Una forma cuadrática F se llama semidefinida negativa , si F ( 0 es decir se conserva negativa, anulándose solo para algún sistema de valores de las variables xi , xj

6) Una forma cuadrática F se llama indefinida , si F toma valorespositivos, nulos o negativos, para distintos sistemas de valores de las variables xi , xj.

Llamaremos H al determinante de la Matriz M de los coeficientes de la forma cuadrática

H = [pic] donde aij = aji

Al menor complementario de orden k < n extraído de H lo llamaremos Hk
Hk= [pic]

TEOREMA 1

Sea [pic] donde los coeficientes aij y las variables xi , xj toman valoresreales y se verifica que aij = aji

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida positiva es que Hk > 0 para k = 1..n

La condición necesaria y suficiente para que F sea definida negativa es que (-1)k Hk > 0 para k = 1..n En esta ultima expresión, para k = 1 (impar), Hk debe ser negativo, de lo contrario no se puede asegurar nada.

DEMOSTRACIÓNNos limitaremos a efectuar la demostración en el espacio R2
[pic]
ya que a 1,2 = a 2,1 multiplicamos y dividimos la expresión por a 1,1 y en los dos primeros términos completamos el binomio cuadrado haciendo el siguiente artificio
[pic]

[pic]
En el espacio R2, H2 = [pic] y H1= a 1,1 y reemplazamos en F
[pic]
Entonces si

[pic] F es definida positiva[pic] F es definida negativa

EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En éste tema se estudiará la teoría de máximos y mínimos relativos, (o locales), de funciones de varias variables independientes o bien relacionadas entre sí mediante ciertas condiciones adicionales, que al igual que para funciones de una variable independiente constituye una importante aplicación del cálculodiferencial, y en particular de la fórmula de Taylor. Veamos, entonces, los extremos libres en primer término.

EXTREMOS LIBRES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Aquí denotaremos por y = f(x1,x2,x3,.....,xn) = f([pic]) una función de “n” variables independientes definida en un cierto subconjunto S de Rn , [pic] = (a1,a2,..., an) un punto de S y N = N([pic], r) un entorno del punto [pic], de radior > 0.

Definición 1: Se dice que y = f([pic]) tiene un máximo relativo o local en [pic] ( S, si:
( r > 0 / ( [pic] ( S [pic] N([pic], r) : f([pic]) ( f([pic])

Definición 2: Se dice que y = f([pic]) tiene un mínimo relativo o local en [pic] ( S, si :
( r > 0 / ( [pic] ( S [pic] N([pic], r) : f([pic]) ( f([pic])
Definición 3: Se dice que y = f([pic]) tiene un extremoabsoluto o global en [pic] ( S, si:
(() ( [pic] ( S : f([pic]) ( f([pic]) , o bien :
(II) ( [pic] ( S : f([pic]) ( f([pic])
En el caso ((), f([pic]) constituye el máximo absoluto de f , y en el caso (II) f([pic]) constituye el mínimo absoluto de f.
Nota: Los máximos y mínimos locales se denominan extremos relativos o locales. La palabra “relativo” (“local”) indica que se compara el valor...