Teorema de cambio de variable

1. Teorema de Cambio de Variable para la Integral de Riemann.
En el caso de la integral de Riemann para funciones reales de una variable real, se puede demostrar un teorema de cambio de variable de forma muy sencilla utilizando los teoremas fundamentales del c´lculo, en condiciones “buenas” sobre la funci´n que se quiere integrar y sobre la funci´n de a o o cambio de variable: Supongamos que g :[a, b] −→ R es una funci´n continua en [a, b], derivable en (a, b) y con o derivada continua, y que f : R −→ R es una funci´n continua. Entonces el teorema de cambio o de variable asegura que
g(b) b

Cambio de Variable en la integral Riemann.

f =
g(a) Teorema de Cambio . . . a

(f ◦ g) · g

En efecto, si F es una primitiva de f en [g(a), g(b)], se tiene que
g(b)

f = F (g(b)) − F(g(a))
g(a)

Por otro lado, la regla de la cadena asegura que (F ◦ g) = (F ◦ g) · g = (f ◦ g) · g , es decir, F ◦ g es una primitiva de (f ◦ g) · g , y se tiene tambi´n e
b

(f ◦ g) · g = F ◦ g(b) − F ◦ g(a) = F (g(b)) − F (g(a))
a

Cambio de Variable en la integral Riemann.

Se pueden dar teoremas m´s generales de cambio de variable, con condiciones menos fuertes a sobre la funci´n f(s´lo integrable) y m´s fuertes en la funci´n g (difeomorfismo de clase C 1 o o a o en (a, b)), a los que llegaremos como caso particular del teorema de cambio de variable para funciones de varias variables que vamos a demostrar. La situaci´n en el caso de funciones en Rn ser´ en t´rminos generales la siguiente: tendremos o a e un conjunto medible-Jordan N , una funci´n biyectiva y diferenciable g : N−→ Rn , y una funci´n o o integrable f definida en g(N ) = M . Y se tratar´ de demostrar que, en ciertas condiciones, se a verifica la igualdad f=
M N

(f ◦ g) · |Jg|

Teorema de Cambio . . .

donde |Jg| es el valor absoluto del Jacobiano de g. Para ello habr´ que asegurar primero que g(N ) es un conjunto medible-Jordan, para que tenga a sentido la integral de f sobre M = g(N ); en segundolugar habr´ que demostrar que la funci´n a o (f ◦ g) · |Jg| es integrable; y por ultimo habr´ que comprobar la igualdad de las integrales. ´ a Iremos resolviendo cada uno de estos problemas en varios pasos, empezando por casos sencillos sobre las funciones f y g. El primer teorema va encaminado a establecer condiciones suficientes sobre la funci´n g para asegurar que transforma conjuntos medibles enconjuntos medibles. o Por la mayor comodidad que supone en la utilizaci´n de las bolas como rect´ngulos, utilizareo a n mos en R la norma infinito: si x = (x1 , . . . , xn ), la norma infinito de x es x
∞

= max{|x1 |, . . . , |xn |}

Con esta norma, la bola de centro x y radio r > 0 es B(x, r) = {y ∈ Rn : max{|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |} ≤ r} que es el rect´ngulo [x1 − r, x1 + r] × · · ·× [xn − r, xn + r] a Cambio de Variable en la integral Riemann.
−1
Teorema de Cambio . . .

n=2 1

n=3

1 −1 B(0, 1) B(0, 1)

Antes de nada, conviene tener en cuenta la siguiente observaci´n: o Observaci´n 1. En las definiciones de conjuntos de contenido cero y de medida cero, se pueden o sustituir los rect´ngulos por cubos (rect´ngulos con todos lados de la misma longitud). a a

Cambiode Variable en la integral Riemann.

En efecto, basta tener en cuenta que para todo > 0, un rect´ngulo R de Rn se puede a incluir en otro rect´ngulo R de modo que v(R ) ≤ v(R) + , y tal que las longitudes de los a lados de R sean n´meros racionales. De esta forma, si R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], con u bi − ai = ri ∈ Q, podemos escribir ri = ki /m poniendo com´n denominador, lo quequiere decir u que cada segmento [ai , bi ] se puede subdividir en ki intervalos de longitud m−1 ; por tanto R se puede dividir en k1 · · · · · kn cubos de lado m−1 , y la suma de los vol´menes de estos cubos es u igual al volumen de R .

R R

Teorema de Cambio . . .

1/m 1/m

En consecuencia para todo > 0, un rect´ngulo R en Rn est´ contenido en una familia finita a a de cubos Q1 , . . . ,...