Teorema de maxwell

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Teorema de Maxwell-Betti
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El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos,entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de Elementos de Frontera
Contenido[ocultar] * 1 Coeficientes de influencia * 2 Energía de deformación * 3 Teorema deMaxwell-Betti * 4 Un caso particular. Teorema de Maxwell * 5 Véase también * 6 Bibliografía |
[editar] Coeficientes de influencia
Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis:
* En cualquier punto del sólido, cada fuerza produce una deformación proporcional a la misma (ley de Hooke: linealidad entre tensiones y deformaciones).
* Severifica el Principio de superposición.
* La aplicación de cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas.
* Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.
Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose al desplazamiento del punto i al aplicar en juna fuerza . En virtud de la primera de las hipótesis anteriormente citadas, se puede afirmar que:

Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el principio de superposición se tendrá que el desplazamiento total del punto i será:

Sea la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de la fuerza aplicada en él, , cuando se aplica en j una cargaunitaria . Estos desplazamientos proyectados sobre la línea de acción de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento). Definiendo de este modo , y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del punto iproyectado en la dirección de , de la siguiente manera:

A los coeficientes se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de .
La definición de los coeficientes de influencia se debe a Clapeyron.
[editar] Energía de deformación
Supongamos un sólido elástico inicialmentedescargado, y que empezamos a cargarlo con una fuerza . Debido a las hipótesis expresadas anteriormente, existe proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos de modo que a un determinado incremento relativo de la fuerza le corresponde el mismo incremento relativo del desplazamiento, o lo que es lo mismo, la pendiente de una gráfica fuerza-desplazamiento es constante. Y por tanto, a la aplicación de unafuerza le corresponderá un desplazamiento .
La energía de deformación acumulada durante todo el proceso de carga será igual al área que queda por debajo de la recta representada en la gráfica fuerza-desplazamiento, es decir, el área de un triángulo:

Si el sólido elástico no se carga con una única fuerza, sino con un conjunto de ellas, aplicando el principio de superposición se tiene:Teniendo en cuenta lo dicho en el apartado dedicado a los coeficientes de influencia:

[editar] Teorema de Maxwell-Betti
Sea un cuerpo elástico sobre el que actúan dos conjuntos de fuerzas y aplicados sobre los puntos del sólido y , respectivamente.
Sean los desplazamientos de los puntos y los desplazamientos de los puntos cuando solo actúan sobre el sólido elástico las fuerzas . Análogamente,...
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