Teoremas de procesos estocasticos

Tema 1. Espacios de Probabilidad y Variables Aleatorias: Espacios de Probabilidad.

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A. Probabilidad.

Un experimento aleatorio tiene asociados los siguientes elementos: • Espacio muestral. Conjunto Ω de todos los resultados (conceptualmente) posibles. • Resultados. Elementos ω del espacio muestral, tambi´n llamados puntos muestrales o realizaciones. e • Sucesos. Subconjuntos de Ω paralos cuales esta definida la probabilidad. ´ Observacion. En la pr´ctica la mayor parte de los espacios muestrales pertenecen a una de las siguientes categor´ a ıas: 1. Conjunto finito: Ω = {0, 1}, Ω = {1, . . . , n}. 2. Conjunto infinito numerable: Ω = N, Ω = Z. 3. Conjunto no numerable: Ω = R, Ω = [0, 1], Ω = R+ = [0, ∞). 4. Conjunto finito de replicaciones: Ω = Ωn = {ω = (ω1 , . . . , ωn ) : ωi ∈ Ω0∀i}. 0 5. Conjunto infinito (numerable) de replicaciones: Ω = ΩN = {ω = (ω1 , ω2 , . . . ) : ωi ∈ Ω0 ∀i}. 0 6. Espacios de funciones: Ω = C[0, 1]

´ Definicion. Una σ-´lgebra sobre Ω es una familia, F, de subconjuntos de Ω, tal que verifica: a 1. Ω ∈ F. 2. Si A ∈ F, entonces Ac ∈ F . 3. Si A1 , A2 , . . . ∈ F, entonces
∞ i=1

Ai ∈ F.

´ Observacion. Dada una familia C de subconjuntos de Ω,existe la menor σ-´lgebra que la contiene (menor en el sentido a de que cualquier σ-´lgebra que contenga a C tambi´n la contiene a ella). La denotaremos, en general, por σ(C) y diremos a e que es la σ-´lgebra generada por C. a Un caso particular es la σ-´lgebra de Borel sobre R: B(R). a Asociados a un experimento aleatorio siempre tendremos un espacio muestral y una σ-´lgebra, (Ω, F). A los elementos ade F los llamaremos sucesos. ´ Definicion. Una probabilidad sobre (Ω, F) es una funci´n P : F −→ R tal que o 1. P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F. 2. P (Ω) = 1. 3. (Numerablemente aditiva) Cualesquiera que sean A1 , A2 , . . . ∈ F disjuntos dos a dos,
∞ ∞

P(
i=1

Ai ) =
i=1

P (Ai )

A la tripleta (Ω, F, P ) la llamaremos espacio de probabilidad. ´ Observacion. Quiz´s la interpretaci´n m´s plausiblede P (A) es como la tendencia de la frecuencia con la que ocurre a o a A bajo replicaciones independientes del experimento aleatorio.

Tema 1. Espacios de Probabilidad y Variables Aleatorias: Espacios de Probabilidad.

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Teorema 1. (Propiedades de la Probabilidad). Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Entonces: 1. P (∅) = 0. 2. Si A1 , . . . , An ∈ F son disjuntos dos a dos, entoncesP ( 3. Si A ∈ F , entonces P (Ac ) = 1 − P (A). 4. Si A, B ∈ F tal que A ⊆ B, entonces P (B \ A) = P (B) − P (A). 5. P es mon´tona. o 6. Si A, B ∈ F, entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). 7. Si A, B ∈ F, entonces P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B). 8. Si A1 , A2 , . . . ∈ F , entonces P (
∞ i=1 n i=1

Ai ) =

n i=1

P (Ai ).

Ai ) ≤

∞ i=1

P (Ai ).

´ Definicion. Sean A1 , A2 , .. . y A subconjuntos de Ω. 1. El l´ ımite superior de (An ) es el conjunto de los ω tal que ω ∈ An para un n´mero infinito de valores de n: u
∞ ∞

lim sup An =
n k=1 n=k

An

(utilizaremos la notaci´n {An , i.o.}) o

2. El l´ ımite inferior de (An ) es el conjunto de los ω tal que ω ∈ An para un todos los valores de n salvo a lo sumo un n´mero finito: u
∞ ∞

lim inf An =
n k=1 n=kAn

(utilizaremos la notaci´n {An , ult.}) o

3. La sucesi´n (An ) converge a A, y escribiremos A = limn→∞ An ´ An −→ A, si lim inf n An = lim supn An = A. o o

Teorema 2. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad. Entonces se verifica: 1. Si An ↑ A en F (i.e. A1 ⊆ A2 ⊆ . . . , An → A = 2. Si An ↓ A en F (i.e. A1 ⊇ A2 ⊇ . . . , An → A = 3. Si An −→ A en F, entonces P (An ) −→ P (A)
∞ k=1 ∞k=1

Ak ), entonces P (An ) ↑ P (A). Ak ), entonces P (An ) ↓ P (A).

Teorema 3. (Lema de Borel-Cantelli). Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y A1 , A2 , . . . ∈ F. ∞ Si n=1 P (An ) < +∞, entonces P ({An , i.o.}) = 0.

´ Definicion. Un suceso A es casi seguro (c.s.) u ocurre casi seguramente si P (A) = 1, y nulo si P (A) = 0. Una propiedad de los resultados de un experimento...