Teoria de control

UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
FACULTAD DE CIENCIAS ELECTRICAS
INGENIERIA ELECTRICA

TEORIA DE CONTROL I

TAREA DEL CAPITULO 5
“LUGAR GEOMETRICO DE RAICES”

REALIZADO POR:

RAUL ORMAZA ROMERO
ALVARO INGIL
HERNAN ESPINOZA

REVIZADO POR:
Ing WALTER OROSCO

FECHA:
05/01/2011

CALIFICACION:

1. Considere un sistema de control con retroalimentación unitaria, cuya funciónde transferencia es:

Gs=Ks2+5s+9s2s+3

Utilizando el Lugar Geométrico de raíces, determine el valor de K tal que las raíces dominantes tengan un factor de amortiguamiento de 0.5

(a) K=4.5
(b) K=9.7
(c) K=1.2
(d) K=37.4
(e) Ninguna de las anteriores.

Desarrollo:

Gs=Ks2+5s+9s2s+3 , Hs=1

Donde la función de transferencia en laso cerrado será:Y(s)R(s)=G(s)1+GsH(s)

Y(s)R(s)=Ks2+5s+9s2s+31+Ks2+5s+9s2s+3*1

Gs=Ks2+5s+9s2s+3s2s+3+Ks2+5s+9s2s+3

Gs=Ks2+5s+9*s2s+3s2s+3*s2s+3+Ks2+5s+9

Gs=Ks2+5s+9s2s+3+Ks2+5s+9

Gs=Ks2+5s+9s3+3s2+ks2+5ks+9k

Usando el LGR de raíces para las raíces dominantes, de manera que tengan un factor de amortiguamiento de 0.5:

Gs=Ks2+5s+9s2s+3

Para ello encontramos dichas raíces:

s2+5s+9s1,s2=-5±252-4*92

s1,s2=-5±225-362

s1,s2=-5±3.3172

s1=-2,5+1.658j
s2=-2,5-1.658j

Remplazando en la función de transferencia:

Gs=Ks2+5s+9s2s+3

Gs=Ks+2.5+1.658js+2.5-1.658js2s+3

Los comandos para matlab quedarían:

>> roots ([1 5 9])

ans =

-2.5000 + 1.6583i
-2.5000 - 1.6583i

Zero/pole/gain:
(s^2 + 5s + 9)
---------------
s^2 (s+3)

clc;
clear;
funcion=zpk([-2.5000 + 1.6583i -2.5000 - 1.6583i],[ 0 0 -3 ],[1])
rlocus(funcion);grid

Ubicándonos en el LGR para un factor de amortiguamiento de 0.5 se observa que k toma un valor de k=4.51 cuyos polos son -1.51+2.6j, -1.51-2.6j

Con lo cual al remplazar dichos polos para el cálculo de la ganancia en la función se tendrá:

Gs=Ks2+5s+9s2s+3

k=s2s+3s2+5s+9k=-1.51+2.6j-1.51+2.6j-1.5+2.6j+3-1.51+2.6j-1.51+2.6j+5-1.51+2.6j+9

k=27.045∠-60.0186.00834∠120.06

k=4.501∠179.917

Por lo anteriormente calculamos, se tiene que la respuesta correcta es la opción (a)

(a) K=4.5⟸
(b) K=9.7
(c) K=1.2
(d) K=37.4
(e) Ninguna de las anteriores.
2. Considere un sistema de control con retroalimentación unitaria, cuya función de transferencia es:

Gs=Ks+1s2+5s+17.33

Elángulo aproximado de partida de los polos complejos conjugados es:

(a) ±205°
(b) ±180°
(c) ±115°
(d) ±130°
(e) Ninguna de las anteriores.

Desarrollo:
Gs=Ks+1s2+5s+17.33

Ecuación característica:

s2+5s+17.33
Cuyas raíces serán:

s1,s2=-5±252-4*17.332

s1,s2=-5±225-29.322

s1,s2=-5±6.65j2

s1=-2,5+3.325j

s2=-2,5-3.325j

G(s)k=s+1s+2.5-3.325js+2.5+3.325jEliminando un polo y evaluando en s1:

G(s)ks1=s+1s+2.5+3.325js1=-2.5+3.325j

G(s)ks1=-2.5+3.325j+1-2.5+3.325j+2.5+3.325j

G(s)ks1=-1.5+3.325j6.650j

G(s)ks1=3.647∠114.286.65∠90=0.548∠24.28

∴∢=24.28

Donde el ángulo de partida del lugar geométrico de raíces es:

θd=180°+argGH,

Sabiendo que argGH,⟹angulo de G(s)ks1 ∴

θd=180+24.3

θd=204.28≅±205

Por lo anteriormentecalculamos, se tiene que la respuesta correcta es la opción (a)

(a) ±205°⟸
(b) ±180°
(c) ±115°
(d) ±130°
(e) Ninguna de las anteriores.

3. Considere un sistema de control con retroalimentación unitaria, cuya función de transferencia es:

Gs=Ks+1s2+5s+17.33

Mediante el comando rlocus de Matlab determine su lugar geométrico de raíces.

Desarrollo:

Si se tiene lafunción de transferencia:

Gs=Ks+1s2+5s+17.33

Que corresponde a la ecuación característica:

s2+5s+17.33+Ks+1=0

Para las propiedades del lugar geométrico tenemos:

1. Cuando k=0 sobre el lugar geométrico de raíces son los polos

s1=-2,5+3.325j , s2=-2,5-3.325j

2. Cuando k=±∞, estos puntos sobre el lugar geométrico de raíces son los ceros:

s1=∞ , s2=∞ , s3=-1...