Teoria de grupos curso

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Teoría de Grupos, un primer curso

Emilio Lluis-Puebla
Universidad Nacional Autónoma de México

Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana

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Índice General
Prefacio Introducción Capítulo I
I.1 I.2 I.3 I.4 Operaciones Binarias Estructuras Algebraicas Propiedades Elementales Grupos Cíclicos v 1 7 7 13 18 27 31 31 36 42 48 55 55 59 67 73 81 83 85

CapítuloII
II.1 II.2 II.3 II.4 Sucesiones Exactas Grupos Cociente Teoremas de Isomorfismo Productos

Capítulo III
III.1 III.2 III.3 III.4 Grupos Abelianos Finitamente Generados Permutaciones, Órbitas y Teoremas de Sylow Grupos Libres Producto Tensorial

Bibliografía y Referencias Lista de Símbolos Índice Analítico

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Prefacio

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Prefacio
El éxito de la Teoría de Grupos esimpresionante y extraordinario. Es quizás, la rama más poderosa e influyente de toda la Matemática. Influye en casi todas las disciplinas científicas, artísticas y en la propia Matemática de una manera fundamental. Lo que realmente se ha hecho en la Teoría de Grupos, es extraer lo esencial de diversas situaciones donde ocurre. Dado un conjunto no vacío, definimos una operación binaria en él, tal que cumplaciertas axiomas, es decir, que posea una estructura, (la estructura de grupo). El concepto de estructura y los relacionados con éste, como el de isomorfismo, juegan un papel decisivo en la Matemática actual. La teoría general de las estructuras es una herramienta muy poderosa. Siempre que alguien pruebe que sus objetos de estudio satisfacen los axiomas de cierta estructura, obtiene, de inmediato para susobjetos, todos los resultados válidos para esa teoría. Ya no tiene que comprobar cada uno de ellos particularmente. Actualmente, podría decirse que las estructuras permiten clasificar las diversas ramas de la Matemática. Este texto contiene el trabajo escrito a lo largo de varios años del material correspondiente a mi curso sobre la materia que he impartido en la Facultad de Ciencias de laUniversidad Nacional Autónoma de México. Después de haber ofrecido el curso con excelentes textos, algunos citados en la Bibliografía, decidí escribir uno que siga el enfoque de mis propios libros [Ll1] y [Ll2]. Es decir, escogí una presentación moderna donde introduzco el lenguaje de diagramas conmutativos y propiedades universales, tan requerido en la matemática actual así como en la Física y en laCiencia de la Computación, entre otras disciplinas. El texto consta de tres capítulos con cuatro secciones cada uno. Cada sección contiene una serie de problemas que se resuelven con creatividad utilizando el material expuesto, mismos que constituyen una parte fundamental del texto. Tienen también como finalidad, la de permitirle al estudiante redactar matemática. El libro está diseñado para un primercurso sobre la Teoría de Grupos el cual se cubre en su totalidad en cuarenta horas de clase.

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Prefacio

Deseo agradecer a mis alumnos, a los árbitros revisores y muy en especial a mi estimado colega, el Dr. Juan Morales Rodríguez el haber hecho oportunas y acertadas sugerencias para mejorar este texto. Cualquier falta u omisión que aún permanezca es de mi exclusiva responsabilidad.Finalmente, comento que he decidido incluir este texto dentro de las Publicaciones Electrónicas de la Sociedad Matemática Mexicana con el ánimo de predicar con el ejemplo y mostrar (como matemático y Editor Ejecutivo) la confianza en este tipo de publicación. Ciudad Universitaria. Abril de 2006. .

Introducción

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Introducción
La Matemática existe desde que existe el ser humano. Prácticamentetodo ser humano es un matemático en algún sentido. Desde los que utilizan la Matemática hasta los que la crean. También todos son hasta cierto punto filósofos de la Matemática. Efectivamente, todos los que miden, reconocen personas o cosas, cuentan o dicen que “tan claro como que dos y dos son cuatro” son matemáticos o filósofos de la Matemática. Sin embargo, hay un número muy reducido de...
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