Teoria de grupos

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TEORIA DE GRUPOS
Definición: Un grupo (G, *) es un conjunto G provisto de una operación * :
G x G → G que verifica:
Asociatividad: para todo g1, g2, g3 ϵ G, (g1* g2) *g3 = g1*( g2 * g3)
Elemento neutro: existe e ϵ G tal que e * g= g* e = g ∀ g ϵ G
Inverso: ∀ g ϵ G, Ǝ g´ϵ tal que g = g´ * g = e
Si además para todo par g, h ϵ G se verifica g * h= h * g entonces el grupo se llama abeliano ocomutativo. Al cardinal del conjunto G se lo llamara orden G y se le notara |G|. Un grupo G finito si |G| ˂ ∞, se dira infinito en otro caso.
Monoides:
La estructura de monordes es una generalización de la estructura de grupo, en donde no se pide la existencia de inverao, y según el contexto, a veces se asume la existencia de elemento neutro, y a veces no.
Definicion: un monorde (M, *) es unconjunto M provisto de una operación *: M x M→M que es asociativa, es decir, que verifica m * (n*l)= (m*n) *l, para toda terna de elementos m, n, l, ϵ M. Si además existe e ϵ M tal que e *m= m* e ∀m ϵ M, entoncs M se dira un monoide con elemento neutro.
A partir de la definición es claro que todo grupo es automáticamente un monoide. El ejemplo clásico de un monorde (que no es grupo) es el de losnúmeros naturales (N, +), o agregándole el elemento neutro: (N0,+).
Si M es un monoide con elementeo nutro, el subconjunto U(M) definido por U(M): = {m ϵ M tal que existe m´ϵ M con m´ * m= e= m * m´} se denomina las unidades de M.
Ejemplo:
Si (k, +, .) es un cuerpo entoncs (k, .) es un monorde con elemento neutro U(k) = k - { 0 }.
SUBGRUPOS, GRUPOS NORMALES
En general, dado un conjunto G, unopuede obtener toda una familia de otros conjuntos simplemente mirando los subconjuntos de G, si además G tiene estructura de grupo , uno se puede preguntar cómo obtener “gratis” a partir de G, una familia de grupos de manera análoga a la situación conjuntista.
Definición: Dado un grupo (G, *) un subgrupo de G es un subconjunto H c G tal que (H, *\H x H) es un grupo o en forma equivalente:
* escerrado en H, i e. ∀h1, h2 ϵ H, h1 * h2 ϵ H
e ϵ H.
∀h ϵ H, h-1 ϵ H
Ejemplo:
Dado n ϵ N, sea Gn = { w ϵ C / un = 1}, entonces (Gn , .) es un subgrupo de (C- {0}, .).
Morfismos y cocientes
Asi como la nocion de conjunto esta intrínsecamente ligada al concepto de función, pues una función es una forma de relacionar un conjunto con otro, para el caso de grupos, que son provistos de una estructurade producto adicional, serán de importancia central las funciones de grupos que respeten dicha estructura.
Definicion: Sean (G, * G), (G´, * G) dos grupos. Una función f: G→ G´ se dice un morfismo de grupos si y solamente si para todo g1, g2 ϵ G es valida la igualdad:
f (g1 * G g2) = f ( g1 ) * G´ f( g2 )
Ahora se puede dar la definición de subgrupo de manera mas compacta, un subconjunto H de ungrupo G es subgrupo si y solo si H admite una estructura de grupo tal que la función unclusion i: H→ G (h → h) sea un morfismo de grupos.
* Un monomorfismo es un morfismo inyectivo.
* Un epimorfismo es un morfismo suryectivo.
* Un isomorfismo es un morfismo biyectivo.
Propiedades
Si  es un morfismo de grupos, entonces
1. .
2. Si , .
Si  es un morfismo de gruposllamaremos Núcleo de  a .
Con esto,  es monomorfismo . 
Ejemplos:

La función logaritmo (en cualquier base),  tiene la conocida propiedad , y como es biyectiva, es un isomorfismo entre     y . Así     y  son estructuras isomorfas.
i  es un grupo, y , diremos que  es un subgrupo de  si  es también un grupo.
Si  es un subgrupo de , el neutro de  es el mismo que el de , y para cada , si es su inverso en ,también  es el inverso de  en  (y por lo tanto).
Una caracterización de los subgrupos es la siguiente:
 es subgrupo ssi:
1. .
2. .
Definición   Si  es grupo, una relación de equivalencia  en G se dice compatible con  ssi:

Dada una relación de equivalencia  compatible con , podemos definir una l.c.i. en el conjunto cociente .

La compatibilidad hace que la operación  en  esté...
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