Teoria De Herstein

CONTRIBUCIONES CIENT´
IFICAS
´
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EN HONOR DE MIRIAN ANDRES GOMEZ
(Laureano Lamb´n, Ana Romero y Julio Rubio, editores),
a
Servicio de Publicaciones, Universidad de La Rioja,
Logro˜ o, Spain, 2010.
n

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LA TEOR´ DE HERSTEIN Y SUPERALGEBRAS
IA
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JESUS LALIENA Y SARA SACRISTAN
En memoria de Mirian Andr´s G´mez, una buena compa˜era de trabajo y una extraordinaria
e
o
n
personaResumen. En esta nota damos una breve introducci´n a super´lgebras y suo
a
per´lgebras de Lie y asociativas. Exponemos a continuaci´n algunos de los
a
o
resultados publicados sobre la estructura de Lie de una super´lgebra asoa
ciativa simple o prima. Finalmente, hacemos un desarrollo similar sobre la
estructura de Lie del conjunto de elementos antisim´tricos de una super´lgee
a
braasociativa con superinvoluci´n que es simple, prima o semiprima.
o
Abstract. We give a very short introduction about superalgebras and Lie
and associative superalgebras. After we make a survey of some of the published results about the Lie structure of an associative superalgebra which is
simple or prime. And we do the same with the Lie structure of the set of
skewsymmetric elements of anassociative superalgebra with superinvolution
which is simple, prime or semiprime.

1.

´
Introduccion

El ´lgebra no asociativa tiene quiz´s su componente m´s importante en las ´lgea
a
a
a
bras de Lie. Un ejemplo sencillo de ´lgebra de Lie es el conjunto de los vectores del
a
espacio vectorial eucl´
ıdeo con el producto vectorial. Tenemos en este conjunto tres
operaciones, la suma devectores, el producto por escalar y el producto vectorial
que cumple estas dos identidades:
a×a=0
(1)

a × (b × c) = (a × b) × c + b × (a × c),

y que definen a las ´lgebras de Lie. El producto vectorial es un producto no coma
mutativo, y tampoco es asociativo, algo usual en las ´lgebras de Lie.
a
Otro ejemplo importante de ´lgebra de Lie es el conjunto de los campos vectoriaa
les en unavariedad diferencial con la operaci´n corchete, que consiste en lo siguieno
te: si X, Y son dos campos vectoriales sobre una variedad diferenciable entonces la
operaci´n corchete viene dada por la composici´n denotada [X, Y ] = XY − Y X .
o
o
Esta operaci´n resulta ser cerrada en este conjunto, lo mismo que la suma y proo
ducto por escalar, y as´ los campos vectoriales en una variedaddiferenciable consı
tituyen un ´lgebra de Lie.
a
Key words and phrases. Associative superalgebras, superinvolutions, Lie structure.
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JESUS LALIENA Y SARA SACRISTAN

Realmente las ´lgebras de Lie fueron introducidas por Sophus Lie (1849-1925) al
a
estudiar propiedades de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales. M´s
a
concretamente asoci´ a cada grupo detransformaciones continuas de un sistema de
o
ecuaciones diferenciales un ´lgebra de Lie, y estableci´ una aplicaci´n del ´lgebra
a
o
o
a
de Lie al grupo a trav´s de los grupos monoparam´tricos. Las transformaciones
e
e
del conjunto de soluciones producen otras soluciones y esto da mucha informaci´n
o
acerca de ellas y del sistema.
Con esto hemos querido poner de relieve que las ´lgebras deLie aparecen y
a
ponen en relaci´n distintas cosas: La F´
o
ısica (campos vectoriales), las Ecuaciones
Diferenciales, las Estructuras algebraicas . . . . Ciertamente, en su origen, las ´lgea
bras de Lie fueron realmente una idea genial de S. Lie poniendo en conexi´n cosas
o
que parecen dispares (´lgebras de Lie y soluciones de sistemas de ecuaciones dia
ferenciales). Este hecho derelacionar cosas distintas, en principio, parece ya una
constante en muchas de las grandes teor´ que se han desarrollado hasta ahora
ıas
en Matem´ticas.
a
Aqu´ no vamos a profundizar en esta relaci´n (para el lector interesado una
ı
o
lectura adecuada puede ser [1]), pero s´ seguiremos dando algunos ejemplos m´s
ı
a
de este tipo de ´lgebras. Tomemos ahora un ´lgebra asociativa, como puede...