teoria

M´
etodos Matem´
aticos 2
Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
L. A. N´
un
˜ ez*
Centro de Astrof´ısica Te´
orica,
Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias,
Universidad de Los Andes, M´erida 5101, Venezuela
y
Centro Nacional de C´alculo Cient´ıfico
Universidad de Los Andes (CeCalCULA),
Corporaci´on Parque Tecnol´
ogico de M´erida,
M´erida 5101, Venezuela
M´erida,Octubre 2001 Versi´on α1.0

´Indice
1. Definiciones para comenzar

1

2. Homog´
eneas, Lineales, de Segundo Orden

2

3. Ecuaciones Diferenciales de Orden n

6

4. Algunos M´
etodos de Soluci´
on
4.1. El Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. M´etodos de los Coeficientes Indeterminados
4.3. M´etodos de Variaci´on de los Par´
ametros .
4.4. M´etodos de Reducci´on de Orden. . . . . .

1.

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Definiciones para comenzar

Definici´
on
La ecuaci´on diferencial
a0 (x) y(x) + a1 (x) y (x)+ · · · + an−1 (x) y (n−1) (x) + an (x) y (n) (x) = F(x)
*

e-mail: nunez@ula.ve

1

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9
9
10
11
14

o equivalentemente,

n

ai (x) y (i) (x) = F(x)
i=o

es lineal de orden n . Obviamente,
F(x) = 0
=⇒ Homog´
enea
F(x) = 0
=⇒ InHomog´
enea
ai (x) = ai = ctes
Definici´
on
Si los coeficientes ai = ctesentonces la ecuaci´on diferencial lineal y homog´enea, de orden n , tiene
asociada un polinomio caracter´ıstico de la forma
an rn + an−1 rn−1 + · · · + a2 r2 + a1 r + a0 = 0
Las ra´ıces de este polinomio indicar´an la forma de la soluci´on.
Definici´
on
Si el polinomio caracter´ıstico puede factorizarse
(r − m1 )k1 (r − m2 )k2 (r − m3 )k3 · · · (r − ml )kl = 0
entonces diremos que lasra´ıces mk1 , mk2 , mk3 , · · · , mkl tienen multiplicidades k1 , k2 , k3 , · · · , kl , respectivamente.

2.

Homog´
eneas, Lineales, de Segundo Orden
La ecuaci´on
a y +b y +c y =0

tiene asociada el polinomio caracter´ıstico
a r2 + b r + c = 0
y sus ra´ıces m1 y m2 condicionan la soluci´on de la manera siguiente
1. Si m1 = m2 y m1 y m2 son reales, entonces la soluci´on es
y = C1 em1 x +C2 em2 x
2. Si m1 = m2 y m1 y m2 son reales, entonces la soluci´on es
y = C1 em1 x + C2 xem1 x
3. Si m1 = α + iβ con β = 0 y m2 = m1 = α − iβ, entonces la soluci´on es
y = eα x (C1 cos βx + C2 sen βx)
2

Ejemplos
La ecuaci´on
y + 3y − 4y = 0;

y(0) = 1

∧

y (0) = −1

tiene como polinomio caracter´ıstico
r2 + 3r − 4 = (r + 4)(r − 1) = 0
y por lo tanto tiene como soluci´ongeneral
y(x) = C1 e−4x + C2 ex
y como soluci´on particular

2
3
y(x) = e−4x + ex
5
5

y(x) = 25 e−4x + 53 ex
De igual modo, para distintos valores de C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} tendremos las siguientes
gr´aficas

3

y(x) = C1 e−4x + C2 ex para C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1}
¿Cu´ales son las condiciones iniciales a las cuales corresponden esos valores de las constantes?
Laecuaci´on
y + 2y + y = 0;
y(0) = 1 ∧ y (0) = −1
tiene como polinomio caracter´ıstico
r2 + 2r + 1 = (r + 1)2 = 0
y por lo tanto tiene como soluci´on general
y(x) = C1 e−x + C2 xe−x
y como soluci´on particular
y(x) = e−x
La gr´afica ser´a la figura

4

y(x) = e−x
por su parte, para distintos valores de C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1} tendremos las siguientes
gr´aficas

y(x) = C1e−x + C2 xe−x para C1 = {−1, 0, 1} y C2 = {−1, 0, 1}
¿Cu´ales son las condiciones iniciales a las cuales corresponden esos valores de las constantes?
Finalmente, la ecuaci´on
y + 4y + 20y = 0;

y(0) = 3

∧

y (0) = −1

tiene como polinomio caracter´ıstico
r2 + 4r + 20 = (r + 2)2 + 16 = 0
con las siguientes soluciones
r = −2 ± 4i
y por lo tanto tiene como soluci´on general
y(x) =...