Transformaciones lineales

INTRODUCCION

Hasta este momento, el estudio de los espacios vectoriales reales puede ser descrito mejor como una generalización modesta de alguna de las ideas implícitas en la geometría analítica. Aunque términos tales como dependencia e independencia lineal, subespacios, bases y otros semejantes, pueden no ser familiares, los mismos añaden realmente poco al conocimiento de losespacios vectoriales considerados en la geometría elemental. Sin embargo, todo esto cambia tan pronto se aplican estas ideas al estudio de funciones definidas sobre espacios vectoriales. Aquí suceden cosas nuevas e importantes y, conforme se desarrolle la siguiente discusión, encontraremos que los conceptos introducidos previamente adquieren significados e importancias mayores.
Unatransformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presentetrabajo las estudiaremos.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones importantes por lo cual ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal, en la física, la ingeniería y en diversas ramas de las matemáticas.Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.
DESARROLLO
Transformaciones lineales:
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal, u operador lineal, T de V en W es una función que asigna a cada vector v existe en V un vector único Tv existe en W y que satisface, para cadau y v en V y cada escalar , T(u + v) = Tu + Tv y T(v) = Tv.
En otras palabras, una transformación lineal es una función, o aplicación de un espacio vectorial a otro, el cual transforma sumas en sumas y productos por escalares en productos por escalares. Estas exigencias son algunas veces dadas a conocer diciendo que una transformación lineal es compatible con las operacionesalgebraicas de adición y multiplicación por escalar definidas en los espacios vectoriales, y es precisamente esta compatibilidad la que cuenta para la importancia de tales funciones en el álgebra lineal.
Tres notas sobre notación:
1. Se escribe T: V – W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con Vcomo su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “ T de v ”. Esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee f de x.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son númeroscomplejos).
Ejemplo 1: La transformación cero: Sean V y W espacios vectoriales y defina T: V – W por Tv = 0 para todo v en V. Entonces T(v1 + v2) = 0 = 0 + 0 = Tv1 + Tv2 y T(v) = 0 = 0 = Tv. En este caso, T se llama la transformación cero.
Ejemplo 2: La transformación identidad: Sea V un espacio vectorial y defina I: V – V por Iv = v para todo v en V. Aquí es obvio que I esuna transformación lineal, la cual se llama transformación identidad u operador identidad.
Ejemplo 3: Transformación de Rn – Rm dada por la multiplicación por una matriz de m x n: Sea A una matriz de m x n y defina T: Rn – Rm por Tx = Ax. Como A(x + y) = Ax + Ay y A(x) = Ax si x y y están en Rn, se ve que T es una transformación lineal. Entonces toda matriz A de m x n se puede usar...